Question

Всплошном однородном диске радиусом r просверлили сквозное отверстие радиусом r/2 от оси симметрии. во сколько раз изменится момент инерции тела относительно указанной оси?

Answer 1

Для того чтобы найти ответ на этот вопрос, необходимо использовать свойства момента инерции и применить закон сохранения момента инерции.

Момент инерции тела относительно оси симметрии можно выразить формулой:

I = I₁ + I₂,

где I₁ - момент инерции диска без отверстия относительно оси симметрии, а I₂ - момент инерции отверстия относительно этой же оси.

Для всплошного однородного диска момент инерции можно выразить следующей формулой:

I₁ = (1/2) * m * r₁²,

где m - масса диска, а r₁ - радиус диска.

Аналогично, момент инерции отверстия можно выразить формулой:

I₂ = (1/2) * m * r₂²,

где r₂ - радиус отверстия.

Подставляя эти значения в формулу для момента инерции тела относительно оси симметрии, получаем:

I = I₁ + I₂ = (1/2) * m * r₁² + (1/2) * m * r₂².

Чтобы определить, во сколько раз изменится момент инерции, необходимо найти отношение нового момента инерции к старому:

Отношение I к I₁ равно:

I / I₁ = [(1/2) * m * r₁² + (1/2) * m * r₂²] / [(1/2) * m * r₁²].

Замечаем, что m сокращается и оставляем только зависимость от радиусов:

I / I₁ = [r₁² + r₂²] / r₁².

Учитывая, что r₂ = r/2, можем записать:

I / I₁ = [r₁² + (r/2)²] / r₁².

Упростим это выражение:

I / I₁ = [r₁² + (r²/4)] / r₁² = [4r₁² + r²] / (4r₁²).

Мы нуждаемся в выражении момента инерции в его исходном состоянии (когда отверстия нет), поэтому воспользуемся равенством:

r₁ = r.

Подставляя r для r₁, получаем:

I / I₁ = [4r² + r²] / (4r²) = (5r²) / (4r²) = 5/4.

Таким образом, момент инерции тела относительно оси симметрии изменится в 5/4 раза или на 1.25 раза.