Question

Стеоремы остроградского-гаусса вывести формулу для расчёта напряжённости поля металлического шара, заряженного зарядом q. построить график

Answer 1

Закон Гаусса:

Поток напряженности электрического поля через произвольную поверхность, окружающую тело, равен заряду тела, умноженному на 4π.

Окружим заряженный шар сферой,  радиуса r.

Сначала положим r>R, где R - радиус шара.

Из вышеописанного закона:

$\int_{S} E dS = 4\pi q$, где интеграл берется по поверхности радиуса r.

Из симметричности задачи следует, что напряженность E в каждой точке сферы r одинакова (и направлена вдоль радиуса), то есть E=const в подинтегральм выражении. Тогда:

$E \int dS = E4\pi r^2 = 4\pi q$.

Отсюда: $E = \frac{q}{r^2}$.

Для нахождения поля внутри шара, при r<R, введем объемную плотность заряда:

$\rho = q/V = \frac{q}{4/3 \pi R^3}$.

Аналогично, найдем поток напряженности поля через сферу, радиуса r. Точно также, из симметрии, считаем E = const (на этой сфере). Тогда:

$\int_{S} E dS = E 4\pi r^2 = 4\pi q_{in}$.

Здесь, q_{in} - заряд шара, радиуса r:

$q_{in} = q V_{in}/V = q (r/R)^3$.

Подставляя в выражение для E, получим:

$E = \frac{q r}{R^3}$.

Ниже представлен график модули напряженности электрического поля для всех r.