Question

Окружность с центром o вписана в ромб abcd, острый угол b которого равен 60°. окружность с центром p касается стороны cd ромба и продолжений сторон bc и ad за вершины с и d соответственно.

1) докажите, что acpd - прямоугольная трапеция

2) найдите площадь трапеции acpd, если известно, что расстояние от вершины с до точки касания окружности со стороной bc равно 2.

Answer 1

Дано: ABCD - ромб, уголB=60С;
Окружность O1(O,OF) вписана в ромб;
Окружность О2(P,PE) вписана так, что касается лучей AD и BC и стороны CD;
CE=2

Доказать ACPD - прямоугольная трапеция

Доказательство:
AD//BC, CD-секущая
угол DCE=угол B=60C (соответственные)
угол CDH=угол А=120С (соответственные)

Окружность O2(P,PE)вписана
PC-биссектриса угла уголDCE
угол DCP=1/2DCE=30C
Аналогично угол DCP=1/2*120C=60C

В треугольнике CPD: уголDCP=30C и угол CDP=60C - угол CPD=90C
Что и требовалось доказать.

Трапеция состоит из трех таких треугольников: S ACPD=3Sтреугольника=8корень3/3

Ответ: S ACPD=8корень3/3