1 а) ВА ВС ВВ1, в которой все три вектора, выходя из одной вершины, направлены в разные стороны. Во второй группе векторы АВ1 и СС1, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости. ответ: а) ВА ВС ВВ1. 2 а) ВА+ВС+ВВ1+В1А =ВК, так как ВА+ВС=ВА+AD=BD; BB1+B1A=BA; BD+BA=BD+DK(DK=BA)=BK. Или так: BD+BB1=BD+DD1=BD1; BD1+B1A=BD1+D1K(D1K=B1A)=BK. Решение не удовлетворяет условию. б) ВВ1+СD+A1D1+D1В = BB=0, так как: BB1+CD=BB1+B1A1=BA1; BA1+A1D1+D1B=BB = 0. 3. а) Вектор BD=BA+AD. BA=AH+HB; AD=2*AM. AH=(3/2)*AO (так как АН - высота правильного треугольника и АО=(2/3)*АН). НВ= - (1/2)ВС. Тогда BD=(3/2)*AO - (1/2)ВС+2*AM. Или BD=4AM - ВС+3AO. б) Вектор АС=BC-BA. BC=BD+DC; DN=BN-BD; DC=2DN=2(BN-BD). Тогда АС=BD+2(BN-BD)-BA, или АС= 2BN-BD-BA. 4. a) Вектор MC=MA+AC. MA=(1/2)*DA, DA=BA-BD, AC=BC-BA. Тогда МС=(1/2)*(BA-BD) +BC-BA или МС=ВС-(ВА+BD)/2. б) Вектор АВ=DB-DA. DA=2DM. AB=DB-2DM. Или так: АВ=АС+СВ, АС=DC-DA, AC=2(DN-DM) так как M и N - середины DA и DC)/ CB=DB-DC=DB-2DN. AB=2DN-2DM+DB-2DN = DB-2DM.
Если окружность КАСАЕТСЯ отрезка DK и одновременно проходит через точку D, значит точка D является ТОЧКОЙ КАСАНИЯ. По теореме о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью, то есть DK²=KC*KJ=15*24=360. Итак, DK=√360=6√10. Найдем DC по теореме косинусов: DC²=DK²+KC²-2*DK*KC*Cos(DKC). DC²=360+225-2*6√10*15*(1/5)√10=225. DC=15. Следовательно, треугольник DCK равнобедренный (DC=KC) и значит <CDK=<CKD(<JKD). То есть Cos(CDK)=(1/5)*√10. Градусная мера <CDK равна половине градусной меры дуги DC (по свойству угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания), а градусная мера центрального угла DOC равна градусной мере дуги DC. То есть <DOC=2*<CDK. В нашем случае Cos(<CDK)=(1/5)*√10. Тогда Sin(<CDK)=√(1-Cos²(<CDK))=√(1-10/25)=√(15/25)=(1/5)*√15. По формуле приведения cos2a=cos²a-sin²a. В нашем случае Cos(<DOC)=10/25-15/25=-5/25=-0,2. В треугольнике ОDC по теореме косинусов DC²=OD²+OC²-2*OD*OC*Cos(<DOC) или 225=2R²-2R²*(-0,2) или 225=2R²(1+0,2). Отсюда R²=225/2,4. R= 15/√2,4≈9,677≈9,7. ответ: радиус проведенной окружности равен 9,7.
Второй вариант решения: Продлим DO до пересечения с окружностью в точке М. Углы <DMC=<CDK (Так как оба опираются на одну дугу DC и равны половине ее градусной меры. <DMC - как вписанный, а <CDK - по свойству угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания). Тогда Sin(DMC)=Sin(<CDK)=(1/5)*√15. (Найдено в первом варианте). Но вписанный треугольник DMC прямоугольный, так как DM - диаметр. Тогда DM=DC/Sin(DMC) = 15/[(1/5)*√15]=5√15. DM - диаметр. Значит радиус R=(5/2)*√15 ≈9,68≈9,7. ответ: радиус проведенной окружности равен (5/2)*√15.
10 см, 10 см, 14 см, 14 см.
Объяснение:
Дано; АВСD - прямоугольник, СК - биссектриса, АК:DК=2:5, Р(АВСD)=48 см.
Найти АВ, АD.
Решение: ∠ВСК=∠DСК по условию
∠СКD=∠ВСК как внутренние накрест лежащие при ВС║АD и секущей СК
значит, ∠СКD=∠DСК, а ΔDСК - равнобедренный и DК=DС
Пусть АК=2х см, DК = 5х см.
АD=2х+5х=7х см
СD=5x см.
Составим уравнение:
2*(7х+5х)=48
14х+10х=48
24х=48
х=2
АК=2*2=4 см, КD=5*2=10 см, СD=5*2=10 см
АD= 4+10=14 см.
Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.