Рассмотрим произвольный треугольник ABC, в котором AH является как медианой, так и высотой. Докажем, что он является равнобедренным.
I)В нём этот отрезок будет являться частью срединного перпендикуляра к стороне BC, поэтому по теореме о срединном перпендикуляра к отрезку, AB=AC как расстояния от точки A, лежащей на нём до точек B и C, т.е. треугольник ABC является равнобедренным по определению, что и требовалось доказать.
II)Высота разделяет этот треугольник на два прямоугольных: HAB и HAC. Они равны по двум катетам: катет AH - общий, катеты BH и CH равны как отрезки, на которые медиана делит противоположную сторону. Из равенства этих треугольников следует и равенство их 1) соответственных углов: <ABC=<ACB, поэтому рассматриваемый треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника, что и требовалось доказать; 2) соответственных сторон: AB=AC, поэтому рассм. тр. является равноб. по определению, что и требовалось доказать.
III)В рассматриваемом треугольнике в прямоугольных треугольниках HAB и HAC по теореме Пифагора 
и 
, Но по условию BH=CH, поэтому AB=AC, т.е. рассм. тр. - равноб. по определению, ч. т. д.
Дано:
ΔABC,<A=90°
AB=3 см
<C = 15°
<CBD = 15°
Найти:
BD
1)Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Значит, <B = 90° - 15° = 75°
2)Так как <CBD = 15°, а <ABD = <B - <CBD, то <ABD = 75° - 15° = 60°
3)Рассмотрим ΔABD, <A = 90°. Сумма его острых углов опять же равна 90°. значит, <ADB = 90° - 60° = 30°. AB - катет, лежащий против угла в 30°, BD - гипотенуза. А катет, лежащий против угла в 30°, равен половине его гипотенузы. Значит, BD = 2AB = 3 * 2 = 6 см