Question

Дана треугольная пирамида sabc; o— точка пересечения медиан основания abc.
а)докажите, что плоскость, проходящая через прямую ав и середину so делит боковое ребро sc делит в отношении 1: 3, считая от вершины s
б)найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если пирамида правильная, а её высота составляет 4/5 от высоты sm боковой грани sab

Answer 1

а) Чтобы доказать, что плоскость, проходящая через прямую AV и середину SO, делит боковое ребро SC в отношении 1:3, нам нужно применить теорему о пропорциональных отрезках.

Пусть точка D - середина ребра SC. Тогда плоскость ASD делит ребро SC на два отрезка: SD и DC.

Для начала, докажем, что точки S, A и D лежат на одной прямой. Для этого воспользуемся теоремой Ван Обеля. В треугольнике SBC проведем медианы SA и DB. Точки пересечения этих медиан обозначим точкой O. Так как O является точкой пересечения медиан, то она делит их в отношении 2:1. То есть, так как точка O делит медиану SA в отношении 2:1, то она делит отрезок SD в отношении 2:1. То есть, SD = 2OD. Аналогично, SD = 2OD. То есть, SD = DC.

Далее, проверим, что точка D делит ребро SC в отношении 1:3. Для этого воспользуемся аналогичной теоремой Ван Обеля. В треугольнике BAC проведем медианы BD и AC. Точка пересечения этих медиан обозначим точкой O'. Заметим, что точка O' совпадает с точкой O. Так как O является точкой пересечения медиан, то она делит их в отношении 2:1. То есть, так как точка O' делит медиану BD в отношении 2:1, то она делит отрезок SC в отношении 2:1. То есть, SC = 3O'D. Аналогично, SC = 3O'D. То есть, SC = 3SD.

Итак, мы доказали, что плоскость, проходящая через прямую AV и середину SO, действительно делит боковое ребро SC в отношении 1:3.

б) Чтобы найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, нужно использовать понятие косинуса угла.

Пусть угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды обозначен как α.

Так как пирамида является правильной, у нее все боковые грани равны. Из условия задачи мы знаем, что высота пирамиды составляет 4/5 от высоты боковой грани SAB, то есть HS = (4/5)*HM.

Так как пирамида правильная, у нее медиана HM является высотой боковой грани SAB, соответственно, угол HSM равен 90 градусам.

Теперь воспользуемся косинусной теоремой в треугольнике HSM, чтобы найти косинус угла α:

cos(α) = HM/HS = HM/(4/5)*HM = 5/4.

Таким образом, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды составляет α = arccos(5/4).