Question

Даны координаты вершин пирамиды а(3,2,1),в(4,3,1),с(7,5,-1)d(5,3,3) найти объём пирамиды

Answer 1

Для нахождения объема пирамиды, заданной координатами вершин, мы можем использовать формулу объема пирамиды.

Формула объема пирамиды:
V = (1/6) * |(a - d) · [(b - d) × (c - d)]|

Где:
- a, b, c, и d - координаты вершин пирамиды.

В данном случае, у нас есть следующие координаты вершин пирамиды:
- a(3,2,1)
- b(4,3,1)
- c(7,5,-1)
- d(5,3,3)

1. Найдем векторы DA, DB, DC:
- Вектор DA = (x_a - x_d, y_a - y_d, z_a - z_d) = (3 - 5, 2 - 3, 1 - 3) = (-2, -1, -2)
- Вектор DB = (x_b - x_d, y_b - y_d, z_b - z_d) = (4 - 5, 3 - 3, 1 - 3) = (-1, 0, -2)
- Вектор DC = (x_c - x_d, y_c - y_d, z_c - z_d) = (7 - 5, 5 - 3, -1 - 3) = (2, 2, -4)

2. Найдем векторное произведение векторов DB и DC:
- Векторное произведение DB × DC = (y_db * z_dc - z_db * y_dc, z_db * x_dc - x_db * z_dc, x_db * y_dc - y_db * x_dc)
= (0 * (-4) - (-2) * 2, (-2) * 2 - (-1) * (-4), (-1) * 2 - 0 * (-4))
= (0 - (-4), (-4) - 4, (-2) - 0)
= (4, -8, -2)

3. Теперь, посчитаем скалярное произведение вектора DA и вектора, полученного на предыдущем шаге (DB × DC):
- Скалярное произведение DA · (DB × DC) = x_da * x_(dbxdc) + y_da * y_(dbxdc) + z_da * z_(dbxdc)
= (-2) * 4 + (-1) * (-8) + (-2) * (-2)
= -8 + 8 - 4
= -4

4. Вычислим модуль скалярного произведения с помощью абсолютной величины:
- |DA · (DB × DC)| = |-4| = 4

5. Наконец, найдем объем пирамиды с использованием найденного модуля скалярного произведения:
- V = (1/6) * |DA · (DB × DC)|
= (1/6) * 4
= 2/3 кубических единицы (ед.куб.)

Таким образом, объем пирамиды с заданными координатами вершин равен 2/3 кубических единицы.