Уравнение окружности: x²+y²=18. уравнение прямой: x+y+c=0. найди значения коэффициента c, с которыми прямая и окружность имеет одну общую точку (прямая касается окружности).
1. Дано уравнение окружности: x²+y²=18.
Уравнение окружности имеет вид x²+y²=r², где r - радиус окружности. В данном случае р²=18, следовательно, радиус окружности r=√18.
2. Дано уравнение прямой: x+y+c=0.
Представим уравнение прямой в общем виде Ax+By+C=0, где A, B и C - коэффициенты прямой. В данном случае A=1, B=1 и C=c.
3. Для того чтобы прямая и окружность имели одну общую точку, прямая должна касаться окружности.
Точка касания прямой и окружности будет находиться там, где расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
4. Расстояние между точкой и прямой можно выразить через формулу:
d = |Ax+By+C| / √(A²+B²)
5. Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой будет:
d = |1*c+1*c+0| / √(1²+1²) = |2c| / √2 = |c|√2
6. Мы уже знаем, что радиус окружности равен √18, поэтому расстояние от центра окружности до прямой также должно быть равно √18:
|c|√2 = √18
7. Разделим обе части уравнения на √2:
|c| = √18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3
8. Так как мы ищем значения коэффициента c, мы можем предположить два случая:
a) c = 3
b) c = -3
Подставим эти значения в исходное уравнение прямой и убедимся, что они удовлетворяют условию. Поскольку это довольно просто, давайте сделаем это:
a) Подставим c = 3 в уравнение прямой: x+y+3=0.
Теперь подставим это значение в уравнение окружности: x²+y²=18.
(x+y+3)²+y²=18.
Раскроем скобки: x²+2xy+y²+y²+6x+6y+9=18.
Объединим подобные члены: 2x²+2y²+2xy+6x+6y+9=18.
Перепишем уравнение в стандартной форме: 2x²+2y²+2xy+6x+6y-9=0.
Поскольку коэффициент перед x² и y² равен 2, а не 1, это не уравнение окружности, а уравнение эллипса или гиперболы.
б) Подставим c = -3 в уравнение прямой: x+y-3=0.
Теперь подставим это значение в уравнение окружности: x²+y²=18.
(x+y-3)²+y²=18.
Раскроем скобки: x²+2xy+y²+y²-6x-6y+9=18.
Объединим подобные члены: 2x²+2y²+2xy-6x-6y+9=18.
Перепишем уравнение в стандартной форме: 2x²+2y²+2xy-6x-6y-9=0.
В данном случае перед x² и y² у нас также есть 2, а значит, это также не уравнение окружности.
Итак, мы видим, что уравнение прямой x+y+c=0 не имеет значений c, при которых прямая касается окружности x²+y²=18.
Ответ: Нет таких значений коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая не касается окружности).
1. Дано уравнение окружности: x²+y²=18.
Уравнение окружности имеет вид x²+y²=r², где r - радиус окружности. В данном случае р²=18, следовательно, радиус окружности r=√18.
2. Дано уравнение прямой: x+y+c=0.
Представим уравнение прямой в общем виде Ax+By+C=0, где A, B и C - коэффициенты прямой. В данном случае A=1, B=1 и C=c.
3. Для того чтобы прямая и окружность имели одну общую точку, прямая должна касаться окружности.
Точка касания прямой и окружности будет находиться там, где расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
4. Расстояние между точкой и прямой можно выразить через формулу:
d = |Ax+By+C| / √(A²+B²)
5. Таким образом, расстояние от центра окружности до прямой будет:
d = |1*c+1*c+0| / √(1²+1²) = |2c| / √2 = |c|√2
6. Мы уже знаем, что радиус окружности равен √18, поэтому расстояние от центра окружности до прямой также должно быть равно √18:
|c|√2 = √18
7. Разделим обе части уравнения на √2:
|c| = √18 / √2 = √(18/2) = √9 = 3
8. Так как мы ищем значения коэффициента c, мы можем предположить два случая:
a) c = 3
b) c = -3
Подставим эти значения в исходное уравнение прямой и убедимся, что они удовлетворяют условию. Поскольку это довольно просто, давайте сделаем это:
a) Подставим c = 3 в уравнение прямой: x+y+3=0.
Теперь подставим это значение в уравнение окружности: x²+y²=18.
(x+y+3)²+y²=18.
Раскроем скобки: x²+2xy+y²+y²+6x+6y+9=18.
Объединим подобные члены: 2x²+2y²+2xy+6x+6y+9=18.
Перепишем уравнение в стандартной форме: 2x²+2y²+2xy+6x+6y-9=0.
Поскольку коэффициент перед x² и y² равен 2, а не 1, это не уравнение окружности, а уравнение эллипса или гиперболы.
б) Подставим c = -3 в уравнение прямой: x+y-3=0.
Теперь подставим это значение в уравнение окружности: x²+y²=18.
(x+y-3)²+y²=18.
Раскроем скобки: x²+2xy+y²+y²-6x-6y+9=18.
Объединим подобные члены: 2x²+2y²+2xy-6x-6y+9=18.
Перепишем уравнение в стандартной форме: 2x²+2y²+2xy-6x-6y-9=0.
В данном случае перед x² и y² у нас также есть 2, а значит, это также не уравнение окружности.
Итак, мы видим, что уравнение прямой x+y+c=0 не имеет значений c, при которых прямая касается окружности x²+y²=18.
Ответ: Нет таких значений коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая не касается окружности).