Question

Решить координатно-векторным методом: в правильной четырёхугольной пирамиде sabcd точка s — вершина. точка m — середина ребра sa, точка k — середина ребра sc. найдите угол между плоскостями
bmk и abc, если ab = 10, sc =8. ответ выразить в arctg.

Answer 1

Поместим пирамиду в систему координат точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

Имеем координаты её вершин.

А(0; 0; 0), В(0; 10; 0), С(10; 10; 0), Д(10; 0; 0), S(5; 5; 8).

Уравнение плоскости АВСД z = 0.

Находим координаты точек М и К.

М(2,5; 2,5; 4) и К(7,5; 7,5; 4).

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки определяем  по формуле:

x - x1  y - y1  z - z1  

x2 - x1  y2 - y1  z2 - z1        = 0

x3 - x1  y3 - y1  z3 - z1

x - 0          y - 10  z - 0  

(2.5) - 0  (2.5) - 10  4 - 0      =  0

(7.5) - 0  (7.5) - 10  4 - 0

- 0  y - 10 z - 0  

2.5  -7.5    4          =  0

7.5  -2.5    4

(x - 0 )( (-7.5) · 4 - 4 · (-2.5) ) - (y - 10 )( (2.5) · 4 - 4 · (7.5) ) + (z - 0 )( (2.5) · (-2.5) - (-7.5) · (7.5) ) = 0

(-20) (x -  0 ) +  20 (y -  10 ) +  50 (z -  0 ) = 0

-  20 x  +  20 y  +  50 z  -  200   = 0 .

Сократим обе части на -10 и получаем уравнение плоскости МВК:

2x - 2y - 5z + 20 = 0.

Угол между плоскостями

z = 0 и  2x - 2y - 5z + 20 = 0  определяем по формуле:

cos α =   |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| /√(A1² + B1² + C1² )*√(A2² + B2² + C2²)  

cos α =   |0·2 + 0·(-2) + 1·(-5)| /√(0² + 0² + 1²)* √(2² + (-2)² + (-5)²)  =

=   |0 + 0 + (-5)| /(√1 *√33)  =   5√33/3 3  ≈ 0,87039

α = 29,496° .

Через arctg ответ можно получить без векторного метода.

Линия пересечения заданных плоскостей лежит в плоскости основания АВСД и параллельна диагонали АС.

Отрезок МК пересекает высоту пирамиды в её середине.

Тангенс угла равен 4/(5√2).

α = arctg (4/(5√2)) = arctg (2√2)/5).