Пирамида КАВС - прямоугольная, КА перпендикулярна тр-ку АВС и является высотой пирамиды. Тр-к АВС - прям-ый, <АВС=90°, АС=4 см, <ВАС=30°. В прям-ом тр-ке катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, т.е. ВС=2 см. АВ найдем по теореме Пифагора АВ^2=AC^2-BC^2=16-4=12 АВ=2√3 Площадь тр-ка равна половине произведения катетов: S=½*AB*BC=½*2√3*2=2√3 см кв. По условию задачи в прям-ом тр-ке КАВ <КВА=60°, значит <АКВ=30°. Получается, что гипотенуза КВ=2*АВ=2*2√3=4√3 см По теореме Пифагора найдем высоту КА KA^2=KB^2-AB^2=48-12=36 КА=6 см Найдем объем пирамиды: V=1/3*S*H V=1/3*2√3*6=4√3 см куб.
Для вычисления суммы углов выпуклого N-многоугольника нужно использовать формулу
Треугольник ABC состоит из ОДНОГО треугольника, значит сумма всех его углов равна
Четырехугольник DEFG состоит из ДВУХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
Пятиугольник MNOPQ состоит из ТРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
Шестиугольник RSTUVW состоит из ЧЕТЫРЕХ треугольников, значит сумма всех его углов равна
........
N-угольник состоит из N - 2 треугольников, значит сумма всех его углов равна (строго доказываеться с метода математической индукции) ------------------------------------------------
Теперь сама задача см. Рис. 2 По скольку 6-угольник ABCDEF правильный, то также
Находить скалярное произведение будем за опредилением через угол:
Как видим, нам нужно найти величину угла и длину стороны .
(1) :
угол правильного 6-угольника равен:
диагональ AD разделяет 6-угольник пополам, и потому угол
(2) : для нахождения AD найдем сначала DF за теоремой косинусов в треуг. FED:
будем за опредилением через угол:
и длину стороны 
.
АВ^2=AC^2-BC^2=16-4=12
АВ=2√3
Площадь тр-ка равна половине произведения катетов: S=½*AB*BC=½*2√3*2=2√3 см кв.
По условию задачи в прям-ом тр-ке КАВ <КВА=60°, значит <АКВ=30°. Получается, что гипотенуза КВ=2*АВ=2*2√3=4√3 см
По теореме Пифагора найдем высоту КА
KA^2=KB^2-AB^2=48-12=36
КА=6 см
Найдем объем пирамиды: V=1/3*S*H
V=1/3*2√3*6=4√3 см куб.