Треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте, т.е. ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).
Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е., ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.
В этом отзыве хочу рассказать о рассказе Николая Семёновича Лескова " Зверь". Жанр этого рассказа-реализм. Здесь, как и во многих произведениях писателя показана реальная история из его детства. Повествует он о своих родственниках, но не только о них одних. Тут показан вроде бы один случай, но в нём сошлись воедино: жестокость, безумство, изменение человека, а также имеет место дружба между человеком и животным. Больше всего поразила меня концовка рассказа. Вы только представьте, человек, который за людей не считал своих крепостных, в корне изменился, благодаря всего одному случаю. Мне рассказ очень понравился, а из всех героев больше всего я удивляюсь и восхищаюсь Ферапонтом, но так же и сам помещик понравился; при всей своей жестокости он всё же оказался в душе добрым человеком. Вот только не знаю, то ли слова священника на него так подействовали, то ли поступок Ферапонта, а может всё это вместе взятое, но он сумел человека, что говорит о том, что он и сам может быть хорошим человеком. Вот такой вот рассказ. Всё описано так интересно и понятно, что читаешь не отрываясь от книги. Думаю, по этому рассказу можно снять неплохой фильм, но это сугубо моё мнение. Подробнее на Отзовик: https://otzovik.com/review_2834144.html
Аналогично, треугольники APC и BPD совместятся поворотом вокруг точки Р, т.е., ∠MPN между их медианами РМ и РN тоже равен углу между диагоналями четырехугольника. В любом случае, получаем либо ∠MPN=∠MQN, либо ∠MPN+∠MQN=180°, что и означает, что точки PQМN лежат на одной окружности.