Question

Дано: треугольник mnp, m(-3; -2), n(1; 4), p(2; -1), найти угол m​

Answer 1

Для нахождения угла m в треугольнике mnp, нам понадобятся координаты вершин этого треугольника - точек m, n и p.

По данной задаче у нас уже имеются координаты точек m(-3; -2), n(1; 4) и p(2; -1).

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника mnp.

Для этого, воспользуемся формулой длины стороны между двумя точками в декартовой системе координат:

d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

где d - расстояние между точками (в данном случае длина стороны треугольника),
x₁ и y₁ - координаты первой точки,
x₂ и y₂ - координаты второй точки.

Для стороны mp:
d(mp) = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d(mp) = sqrt((2 - (-3))² + ((-1) - (-2))²)
d(mp) = sqrt(5² + 1²)
d(mp) = sqrt(25 + 1)
d(mp) = sqrt(26)

Для стороны np:
d(np) = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d(np) = sqrt((1 - (-3))² + (4 - (-2))²)
d(np) = sqrt(4² + 6²)
d(np) = sqrt(16 + 36)
d(np) = sqrt(52)
d(np) = 2 * sqrt(13)

Для стороны mn:
d(mn) = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d(mn) = sqrt((1 - (-3))² + (4 - (-2))²)
d(mn) = sqrt(4² + (-2)²)
d(mn) = sqrt(16 + 4)
d(mn) = sqrt(20)
d(mn) = 2 * sqrt(5)

Шаг 2: Используем закон косинусов для нахождения угла m.

Закон косинусов гласит:
c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

где c - длина стороны противолежащая углу C,
a и b - длины двух других сторон треугольника,
C - угол противолежащий стороне c.

Применим этот закон для угла m и сторон mp, mn и np.

В нашем случае, противолежащей углу m стороной будет сторона np, a стороной - сторона mp, b стороной - сторона mn.

Таким образом, формула примет вид:

(np)² = (mp)² + (mn)² - 2 * (mp) * (mn) * cos(m)

Подставив значения сторон треугольника mnp, получим:

(2 * sqrt(13))² = (sqrt(26))² + (2 * sqrt(5))² - 2 * sqrt(26) * 2 * sqrt(5) * cos(m)

4 * 13 = 26 + 4 * 5 - 4 * sqrt(26) * sqrt(5) * cos(m)

52 = 26 + 20 - 4 * sqrt(26) * sqrt(5) * cos(m)

52 = 46 - 4 * sqrt(26) * sqrt(5) * cos(m)

4 * sqrt(26) * sqrt(5) * cos(m) = -6

sqrt(26) * sqrt(5) * cos(m) = -1.5

sqrt(130) * cos(m) = -1.5

cos(m) = -1.5 / sqrt(130)

m = arccos(-1.5 / sqrt(130))

Итак, угол m примерно равен 2.684 радиан или около 154.057 градусов (с точностью до сотых).