Высота AD делит гипотенузу BC на две части. Чтобы найти катет AC, нужно найти гипотенузу BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. По теореме Пифагора BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256, следовательно, BD = 16 (т. е. корень квадратный из 256). BC = BD + DC = 16 + DC. По теореме Пифагора AC^2 = AD^2 + DC^2 = 12^2 +DC^2 = 144 + DC^2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CAB. По теореме Пифагора AC^2 = BC^2 - AB^2 = BC^2 - 20^2 = BC^2 - 400 = (16+DC)^2 -400 = 256 + 32 DC + DC^2 -400 = DC^2 + 32 DC - 144. Получаем, что AC^2 = 144 + DC^2 и AC^2 = DC^2 + 32 DC - 144. Приравняем правые части этих равенств, получим, 144 + DC^2 = DC^2 + 32 DC - 144. Откуда получаем 32 DC = 288, следовательно, DC = 9. Т. к. BC = BD + DC, то BC = 16 + 9 = 25. Тогда по теореме Пифагора AC^2 = BC^2 - AB^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225, значит, AC = 15. Теперь найдём косинус угла С. По определению, cosC=AC/BC=15/25=3/5
Рассмотрим любой не равнобедренный треугольник АВС, у которого высота и медиана из точки В совпадают. Обозначим этот отрезок BD. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. * Они прямоугольные, т.к. ВD - высота. * AD=CD т.к. BD - медиана, делит AC пополам. * ВD - общая сторона Следовательно, треугольники равны по двум катетам. У равных треугольников соответствующие величины равны, значит, AB=BC, а значит треугольник равнобедренный. Итог: изначально мы предположили, что данный треугольник не равнобедренный, и доказали обратное. Значит, любой треугольник с совпадающей высотой и медианой - равнобедренный. Что и требовалось доказать.
