2. найдите расстояние от точки m(2; 3; -4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат; в) начала координат. 3. на оси 0z найдите точку р(0; 0; z), равноудалённую от двух точек c(-3; 2; 1) и d(4; -2; 0).
Добрый день! Конечно, я помогу вам разобраться с этими задачами.
2. Давайте по порядку рассмотрим каждый пункт задачи:
а) Нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до координатных плоскостей. Координатные плоскости - это плоскости, параллельные плоскостям координатных осей. В данном случае у нас есть три плоскости: плоскость XY, плоскость XZ и плоскость YZ.
Для расстояния от точки до плоскости мы можем использовать формулу: расстояние = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²), где (x, y, z) - координаты точки, A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости. Так как у нас плоскости параллельные координатным осям, D = 0.
Для плоскости XY: A = 0, B = 0, C = 1. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости XY: |0 * 2 + 0 * 3 + 1 * (-4) + 0| / √(0² + 0² + 1²) = |-4| = 4.
Для плоскости XZ: A = 0, B = 1, C = 0. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости XZ: |0 * 2 + 1 * 3 + 0 * (-4) + 0| / √(0² + 1² + 0²) = |3| = 3.
Для плоскости YZ: A = 1, B = 0, C = 0. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости YZ: |1 * 2 + 0 * 3 + 0 * (-4) + 0| / √(1² + 0² + 0²) = |2| = 2.
Итак, расстояние от точки m до плоскостей равно: а) 4 (от плоскости XY), б) 3 (от плоскости XZ), в) 2 (от плоскости YZ).
б) Теперь нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до осей координат. Оси координат - это прямые, параллельные координатным осям. У нас есть три оси: ось X, ось Y и ось Z.
Для расстояния от точки до оси мы можем использовать формулу: расстояние = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²), где (x, y, z) - координаты точки, (x₁, y₁, z₁) - точка на оси.
Для оси X: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (x̄, 0, 0), где x̄ - координата точки m по оси X. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси X: √((2 - 2)² + (3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(0 + 9 + 16) = √25 = 5.
Аналогично для оси Y: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (0, ȳ, 0), где ȳ - координата точки m по оси Y. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси Y: √((2 - 0)² + (3 - 3)² + (-4 - 0)²) = √(4 + 0 + 16) = √20 = 2√5.
И наконец, для оси Z: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (0, 0, z̄), где z̄ - координата точки m по оси Z. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси Z: √((2 - 0)² + (3 - 0)² + (-4 -(-4))²) = √(4 + 9 + 0) = √13.
Итак, расстояние от точки m до осей координат равно: а) 5 (от оси X), б) 2√5 (от оси Y) и в) √13 (от оси Z).
в) Наконец, нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до начала координат. Начало координат - это точка (0; 0; 0).
Для расстояния от точки до начала координат мы также можем использовать формулу: расстояние = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²), где (x, y, z) - координаты точки, (x₁, y₁, z₁) - координаты начала координат.
Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до начала координат: √((2 - 0)² + (3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(4 + 9 + 16) = √29.
Итак, расстояние от точки m до начала координат равно √29.
3. На оси 0z мы должны найти точку p(0; 0; z), равноудалённую от двух точек c(-3; 2; 1) и d(4; -2; 0).
Чтобы точка p была равноудалена от точек c и d, расстояние от неё до каждой из этих точек должно быть одинаковым.
Для расстояния между двумя точками мы можем использовать формулу: расстояние = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты двух точек.
2. Давайте по порядку рассмотрим каждый пункт задачи:
а) Нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до координатных плоскостей. Координатные плоскости - это плоскости, параллельные плоскостям координатных осей. В данном случае у нас есть три плоскости: плоскость XY, плоскость XZ и плоскость YZ.
Для расстояния от точки до плоскости мы можем использовать формулу: расстояние = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²), где (x, y, z) - координаты точки, A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости. Так как у нас плоскости параллельные координатным осям, D = 0.
Для плоскости XY: A = 0, B = 0, C = 1. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости XY: |0 * 2 + 0 * 3 + 1 * (-4) + 0| / √(0² + 0² + 1²) = |-4| = 4.
Для плоскости XZ: A = 0, B = 1, C = 0. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости XZ: |0 * 2 + 1 * 3 + 0 * (-4) + 0| / √(0² + 1² + 0²) = |3| = 3.
Для плоскости YZ: A = 1, B = 0, C = 0. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до плоскости YZ: |1 * 2 + 0 * 3 + 0 * (-4) + 0| / √(1² + 0² + 0²) = |2| = 2.
Итак, расстояние от точки m до плоскостей равно: а) 4 (от плоскости XY), б) 3 (от плоскости XZ), в) 2 (от плоскости YZ).
б) Теперь нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до осей координат. Оси координат - это прямые, параллельные координатным осям. У нас есть три оси: ось X, ось Y и ось Z.
Для расстояния от точки до оси мы можем использовать формулу: расстояние = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²), где (x, y, z) - координаты точки, (x₁, y₁, z₁) - точка на оси.
Для оси X: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (x̄, 0, 0), где x̄ - координата точки m по оси X. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси X: √((2 - 2)² + (3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(0 + 9 + 16) = √25 = 5.
Аналогично для оси Y: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (0, ȳ, 0), где ȳ - координата точки m по оси Y. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси Y: √((2 - 0)² + (3 - 3)² + (-4 - 0)²) = √(4 + 0 + 16) = √20 = 2√5.
И наконец, для оси Z: точка на оси имеет координаты (x₁, y₁, z₁) = (0, 0, z̄), где z̄ - координата точки m по оси Z. Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до оси Z: √((2 - 0)² + (3 - 0)² + (-4 -(-4))²) = √(4 + 9 + 0) = √13.
Итак, расстояние от точки m до осей координат равно: а) 5 (от оси X), б) 2√5 (от оси Y) и в) √13 (от оси Z).
в) Наконец, нам нужно найти расстояние от точки m(2; 3; -4) до начала координат. Начало координат - это точка (0; 0; 0).
Для расстояния от точки до начала координат мы также можем использовать формулу: расстояние = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²), где (x, y, z) - координаты точки, (x₁, y₁, z₁) - координаты начала координат.
Подставляя в формулу, получаем расстояние от точки m до начала координат: √((2 - 0)² + (3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(4 + 9 + 16) = √29.
Итак, расстояние от точки m до начала координат равно √29.
3. На оси 0z мы должны найти точку p(0; 0; z), равноудалённую от двух точек c(-3; 2; 1) и d(4; -2; 0).
Чтобы точка p была равноудалена от точек c и d, расстояние от неё до каждой из этих точек должно быть одинаковым.
Для расстояния между двумя точками мы можем использовать формулу: расстояние = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты двух точек.
Подставляя в формулу, получаем два уравнения:
√((-3 - 0)² + (2 - 0)² + (1 - z)²) = √((4 - 0)² + (-2 - 0)² + (0 - z)²)
√(9 + 4 + (1 - z)²) = √(16 + 4 + z²)
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
√(14 + 2z + z²) = √(20 + z²)
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
14 + 2z + z² = 20 + z²
Отбрасываем одинаковые члены и получаем:
2z = 6
Деля на 2, находим:
z = 3
Итак, точка p(0; 0; 3) равноудалена от двух точек c(-3; 2; 1) и d(4; -2; 0) на оси 0z.
Надеюсь, ответы были достаточно подробными и понятными. Если остались вопросы или что-то не ясно, буду рад помочь разобраться!