1. АА₁ - биссектриса,
ВВ₁ - медиана,
СС₁ - высота.
2. АВ = СВ,
∠АВЕ = ∠СВЕ,
ВЕ - общая сторона.
ΔАВЕ = ΔСВЕ по 1 признаку (по двум сторонам и углу между ними).
3. ∠ВАС = 180° - ∠1 по свойству смежных углов.
∠ВАС = 180° - 110° = 70°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит
∠ВСА = ВАС = 70°
∠BDC = 90°, так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
4. ОМ = ОК по условию,
∠DMO = ∠BKO по условию,
∠DOM = ∠BOK как вертикальные, значит
ΔDMO = ΔBKO по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠MDO = ∠KBO, а так же OD = OB.
Треугольник DOB равнобедренный, значит углы при основании равны:
∠ODB = ∠OBD.
∠MDB = ∠MDO + ∠ODB
∠KBD = ∠KBO + ∠OBD, а так как ∠MDO = ∠KBO и ∠ODB = ∠OBD, то
∠MDB = ∠KBD, т.е. ∠D = ∠B
Объяснение:
ЗАДАЧА 1
обозначим центр описанной окружности О.
Диагональ АС делит прямоугольник на 2 равных прямоугольных треугольника, в которых стороны прямоугольника являются катетами, а АС - гипотенуза.
Рассмотрим ∆АВС. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому уголВСА=90–60=30°.
Катет АВ, лежащий напротив него равен половине гипотенузы АС (свойство угла 30°), поэтому
АС=10×2=20см.
Центром описанной окружности около прямоугольного треугольника является середина гипотенузы АС, поэтому АО=ОС=R=20÷2=10см
Площадь окружности вычисляется по формуле:
Sокр.=πR²=π×10²=100π=100×3,14=314см²
ВС можно найти тремя :
по теореме Пифагора, через косинус угла или через синус.
1) Найдём ВС по теореме Пифагора:
ВС²=АС²–АВ²=20²–10²=400–100=300
ВС=√300=10√3см
2) через косинус угла:
ВС=АС×cos30°=20×√3/2=10√3см
3) через синус угла:
ВС=AC×sin60°=20×√3/2=10√3см
(можно выбрать любой вариант)
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
Sпрям=АВ×ВС=10×10√3=100√3см²
√3≈1,73, тогда:
Sпрям=100√3=100×1,73=173см²
Теперь найдём площадь закрашенной фигуры:
Sзакр.ф.=Sокруж–Sпрям=314–173=141см²
ОТВЕТ: Sзакр.ф.=141см²
ЗАДАЧА 2
Центром описанной окружности около прямоугольного треугольника является середина гипотенузы, поэтому радиус этой окружности равен: R=10÷2=5см, Площадь окружности вычисляется по формуле:
Sокруж=πR²=π×5²=25π=25×3,14=78,5(см²)
Обозначим пропорции 3 : 4 как 3х и 4х, составим уравнение, используя теорему Пифагора:
(3х)²+(4х)²=10²
9х²+16х²=100
25х²=100
х²=100÷25
х²=4
х=√4
х=2
катетВС=2×3=6см
катетАС=2×4=8см
Найдём площадь треугольника:
Sтреуг=1/2×ВС×АС=1/2×6×8=
=1/2×48=24см²
Sзакр.ф=Sокруж–Sтреуг=78,5–24=
=54,5см²
ОТВЕТ: Sзакр.ф=54,5см²