АВС треугольник, Н, D, К - соответственно основания высоты, биссектрисы, медианы, проведенных с вершины В.
Если АВ=ВС, то треугольник равнобедренный и точки Н, D и К совпадают
Пусть АВ меньше ВС, то угол А больше угла С, значит угол АВН меньше угла НВС
Тогда получим что угол АВН меньше 1/2 от угла АВМ, то есть угол АВН меньше угла АВD
Значит точка Н лежит на отрезке АD
По свойству биссектрисы угла имеем AD/DC = AB/BC, так как АВ больше ВС, то AD меньше DC, отсюда АD меньше 1/2 от АС,т.е АD меньше АК, значит точка К лежит на отрезке CD.
Получили что D лежит между Н и К
Допустим возьмём треугольник ABC. Проведём высоту, биссектрису и медиану из вершины A. Поставим 3 точки: D E и F, где D это основание высоты, E основание биссектрисы и F основание медианы.
Также нарисуем описанную окружность этого треугольника. Пусть P — точка пересечения прямой AE с этой окружностью. Тогда P — середина дуги BC. Поэтому прямая, проведённая через точку P параллельно AD, перпендикулярна хорде BC (т.к. AD⊥AC) и, поэтому проходит через её середину, т.е. точку F.
Доказав, что E лежит между D и F мы докажем что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса проходит между высотой и медианой проведенными из той же вершины.
Прямая AD параллельна FP. Биссектриса-это AE, но мы её продлим до AP. Точка E находится на отрезке AP И любая точка находящаяся на AP (кроме самих точек A и P) будет между параллельных линий AD и FP. Значит точка E находится между параллелей AD и FP. Также точка E находится на отрезке DF, ведь точки D и F на параллелях AD и FP.