СН - высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника АВС. В прямоугольном треугольнике ВСН (<H=90°) угол НСВ равен 90° - <B (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Точно так же в прямоугольном треугольнике АВС (<С=90°) угол САВ равен 90° - <B. Следовательно, прямоугольные треугольники САН и ВСН подобны по острому углу (первый признак), так как <CAH=<HCB=(90° - <B) (доказано выше). Кроме того, треугольники САН и НСВ подобны исходному треугольнику АВС по этому же острому углу.
Что и требовалось доказать.
AK⊥BC; ∠KAB = ∠KAC; = 30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой)
∠(DA, ABC) = ∠DAK;
a) по теореме о трех косинусах cos(∠DAK) = cos(∠DAC)/cos(∠KAC) =1/√3
cos(вектор_DA, вектор_AK) = cos(180 − ∠DAK) = −cos(∠DAK) = −1/√3
скалярное произведение вектор_DA · вектор_AK = |DA|·|AK|·cos(вектор_DA, вектор_AK) = −a²/√3
b)
AT||BC; AT = BC = a; ∠KAT; = 30 + 60 = 90°
по теореме о трех косинусах cos(∠DAT) = cos(∠KAT)·cos(∠DAK) = 1/√6
cos(вектор_DA · вектор_BC) = cos(вектор_DA · вектор_AT) = cos(180 − ∠DAT) = −cos(∠DAT) = −1/√6
скалярное произведение вектор_DA · вектор_BC = |DA|·|BC|·cos(вектор_DA · вектор_BC) = −a²/√6
2) DA1C1C не является гранью
если там DD1C1C
a − ребро куба
AT||BD1; AT = BD1;
AT² = BD1² = 3a²
AM² = a² + (½a)² + (½a)² = (3/2)·a²
TM² = ((3/2)·a)² + (½a)² = (5/2)·a²
по теореме косинусов TM² = AM² + AT² - 2·AM·AT·cos(∠TAM)
cos(∠TAM) = (√2)/3
cos ∠(вект_AM, вект_BD1) = cos(∠TAM) = (√2)/3 > 0 угол острый, т. к. косинус положительный