Я надеюсь, что чертеж не совсем непонятный)) Итак, мы нарисовали трапецию ABCD обозначили на ней все углы. Рассмотрим треугольник ABD. Угол абд равен 90, т.к. бд перпендикулярна аб. И угол адб равен 30 по условию. Этот треугольник прямоугольный. Значит угол А будет 60 градусов. Рассм. угол Д. Он состоит из адб и бдс, это 30+30=60. Т.к. угол А и угол Д равны, то этот треугольник равнобедренный и АБ и СД равны. Далее вспомним еще одно свойство прямоугольного треугольника. катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. _____________________________________________
Периметр равен сумме 4-х сторон. Поэтому мы обозначим наши стороны иксами. Так аб и сд, как равные, обозначим "x" и гипотенузу прямоугольного треугольника, ад, как "2x". Нам осталось найти верхнюю сторону, бс. _____________________________________________
Т.к. это равнобедренная трапеция, то и верхние углы равны, значит: Б=С=180-60=(360-60-60):2=120 Рассм. треугл. бсд. Угол дбс = 30 градусов, т.к. угол Б-абд=120-90=30. Угол бдс тоже равен 30 (по условию). Следовательно, треугольник бсд равнобедренный, и значит, что бс=сд=x ______________________________________________
Итак, наше P = x+x+x+2x=5x x=60/5x=12 AD=2x=12*2=24 cm. ответ: AD = 24 см.
Касательные к окружности,проведённые из одной точки, равны, значит АМ=АN=2, СN=СД=3. Пусть ВМ=ВД=х, тогда АС=АМ+ВМ=2+х, ВС=СД+ВД=3+х. Площадь треугольника АВС: S=(1/2)ab·sinα=(1/2)АС·ВС·sinC=5(3+x)·√3/4, Также S=pr, где р=(АВ+ВС+АС)/2=(2+х+3+х+5)/2=5+х. В тр-ке NOC ∠ОСN=∠C/2=30° (СО - биссектриса), NO=NC·tg(∠OCN)=3/√3=√3. r=√3. S=(5+x)·√3. Объединим два полученных уравнения площади треугольника АВС: 5(3+х)·√3/4=(5+х)·√3, 15+5х=20+4х, х=5. В четырёхугольнике МВДО ∠ВМО=∠ВДО=90°, значит ВО⊥МД. ВО и МД пересекаются в точке К. В прямоугольном тр-ке ВОМ МК - высота. МК=ВМ·МО/ВО. ВО²=ВМ²+МО²=5²+3=28. ВО=√28=2√7. МК=5·√3/(2√7)=5√21/14. Треугольники ВОМ и ВОД равны по трём сторонам, значит МК=ДК. МД=2МК=5√21/7 - это ответ.
Т. к. треугольник р/б, то угол ОАВ и ОВА будут равны. А угол ОВА вертикальный с углом 2, поэтому они равны. Т. е., следуя из этого, угол ОАВ=37°