1. Найти угол между векторами AС и АB.
*Можно искать не косинус угла, а найти длину вектора BC, тогда ΔABC -- равносторонний и углы равны по 60°.
2. Найти координаты центра сферы и длину ее радиуса. Найти значение m.
Приведём уравнение к общему виду (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²:
Тогда O (x₀; y₀; z₀) -- центр сферы, O (0; 1; -2),
R² = 16 ⇒ R = 4
Если точка принадлежит сфере, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство. Подставим точки A и B в уравнение сферы:
3. Найти уравнение плоскости α.
Ax + By + Cy + D = 0 -- общее уравнение плоскости.
n = (A; B; C) -- вектор нормали ⇒ A = 1, B = 2, C = 3, тогда
Если точка принадлежит плоскости, то подставив её координаты в уравнение, получится верное равенство:
4. Найти общее уравнение прямой.
Общее уравнение прямой представляет собой систему уравнений двух пересекающихся плоскостей. Решение этой системы есть пересечение плоскостей, то есть прямая.
Зададим прямую параметрически:
Исключим параметр λ:
Последняя система -- это общее уравнение прямой.
а)
<1 = 120°
<2 == <3 (назначим каждый из этих углов, как "x', так как эти неивестные углы равны друг другу)
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°
Составим уравнение: x+x+120 = 180° => 2x + 120 = 180°
2x = 180-120 = 60
x = 60/2 = 30°
<1 = 120°, <2 == <3 = 30°.
б)
Провернём то же уравнение:
2x+75 = 180°
2x = 180-75 = 105°
x = 105/2 => x = 52.5°
75+52.5+52.5 = 180°
Но есть и альтернативный вариант решения.
Предположим, что один из ра'вных углов равен 75°, а не противоположный угол к основанию.
Тоесть: 75+75+x = 180°
150+x = 180 => x = 180-150 = 30°
30+75+75 = 180°.