Пусть F - точка пересечения АВ и DM, G - точка пересечения AN и CD, К - точка пересечения продолжения AD c прямой CК II BD; Для треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4; AF*BO*DP/(FB*OD*AP) = 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно быть параллельно AD... докажите, полезно!) По теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5; MO = AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC; Точно также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD; По построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON, коэффициент подобия равен 2/15. Поскольку BDKC – параллелограмм, AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции. То есть площадь ACK равна площади трапеции S. Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;
Рисунок смотри во вложении. Решение: Так как треугольники ВОС и АОД подобны и ВС = АД/4, то ВО = ОД/4 и ОС = АО/4. Так как тр-ки ВМС и АМР подобны и ВС = АР/2, то МС = АМ/2. Аналогично, из подобия тр-ов ВNC и PND получим: BN = ND/2. Все эти соотношения понять, какую часть диагонали АС составляет отрезок МО и какую часть диагонали ВД составляет отрезок ON. Итак пройдемся по диагонали АС, используя полученные пропорции: АМ = 2МС = 2(МО+ОС) = 2МО + 2ОС АО = 4ОС или АМ + МО = 4ОС Подставим выражение для АМ из первого соотношения и получим: 2МО + 2ОС + МО = 4ОС, или 3МО = 2ОС, но так как ОС = АС/4, получим окончательно: ОМ = АС/6 Аналогично для диагонали ВД и отрезка ON: ON = ВД/6 Площадь MON = (1/2)MO*ON*sina = (1/36)*(1/2)AC*BD*sina = (1/36)Sabcd = 50/36= 25/18 Здесь мы воспользовались формулой площади тр-ка через две стороны и угол между ними, а затем формулой площади любого выпуклого 4-ника через произведение диагоналей и синуса угла между ними. ответ: 25/18
Для треугольника ABD AO, BP DF - чевианы, и BO/OD = BC/AD = 1/4;
AF*BO*DP/(FB*OD*AP) = 1; AF/FB = 4; (это можно сразу заметить - ВР - медиана ABD, поэтому FO должно быть параллельно AD... докажите, полезно!)
По теореме Ван-Обеля AM/MO = AF/FB + AP/PD = 4 + 1 = 5;
MO = AO/6 = (1/6)*(4/5)AC = (2/15)*AC;
Точно также из треугольника ACD получается NO = (2/15)*BD;
По построению, CE II BD, то есть треугольник ACK подобен треугольнику MON, коэффициент подобия равен 2/15.
Поскольку BDKC – параллелограмм, AK = AD + BC, и площадь треугольника ACK равна H*(AD + BC)/2, где H – расстояние от С до AD, то есть – высота трапеции.
То есть площадь ACK равна площади трапеции S.
Отсюда площадь MON равна S*(2/15)^2 = 8/9;