Для построения графика функции y=(x-1)(x^2+8x+15)/(x+5) и определения значений m, при которых прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку, выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдите точки пересечения графика функции с осью абсцисс (x-осью). Для этого приравняйте функцию к нулю и решите уравнение:
(x-1)(x^2+8x+15)/(x+5) = 0
Первое условие (x-1) = 0 дает нам x = 1.
Второе условие (x^2+8x+15) = 0 можно решить, используя метод Факторизации или квадратное уравнение. Если мы применяем метод Факторизации, то получаем:
(x+3)(x+5) = 0
Это дает нам два дополнительных значения x: x = -3 и x = -5.
Таким образом, точки пересечения графика функции с x-осью - это точки A(1, 0), B(-3, 0) и C(-5, 0).
Шаг 2: Определите поведение функции до и после точек пересечения x-оси. Для этого рассмотрим знаки функции в интервалах между точками пересечения:
- Берем любое значение x между x = -5 и x = -3, например, x = -4.
- Подставляем x = -4 в функцию и находим значение y:
y = (-4-1)((-4)^2+8(-4)+15)/(-4+5)
= (-5)(16-32+15)/1
= (-5)(-1)/1
= 5
Таким образом, функция для x между x = -5 и x = -3 положительна и растет.
- Берем любое значение x между x = -3 и x = 1, например, x = 0.
- Подставляем x = 0 в функцию и находим значение y:
y = (0-1)((0)^2+8(0)+15)/(0+5)
= (-1)(0+0+15)/5
= (-1)(15)/5
= -3
Таким образом, функция для x между x = -3 и x = 1 отрицательна и убывает.
- Берем любое значение x больше x = 1, например, x = 2.
- Подставляем x = 2 в функцию и находим значение y:
y = (2-1)((2)^2+8(2)+15)/(2+5)
= (1)(4+16+15)/7
= (1)(35)/7
= 5
Таким образом, функция для x > 1 положительна и растет.
Полученная информация позволяет нам построить следующий график функции:
Шаг 3: Определите значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Это происходит, когда прямая y = m пересекает график функции в одной и только одной точке.
Мы видим, что прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции только в том случае, если она пересекает график функции только один раз в одном из трех интервалов:
1) Между точками C и A
2) Между точками A и B
3) После точки A
Найдем значения m для каждого интервала:
1) В интервале между точками C (-5,0) и A (1,0), функция растет и положительна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз выше оси абсцисс и меньше нуля. Таким образом, m < 0.
2) В интервале между точками A (1,0) и B (-3,0), функция убывает и отрицательна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз ниже оси абсцисс и больше нуля. Таким образом, m > 0.
3) После точки A (1,0), функция растет и положительна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз выше оси абсцисс и больше нуля. Таким образом, m > 0.
Таким образом, значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком функции ровно одну общую точку, это m < 0 и m > 0.
Надеюсь, это подробное объяснение поможет понять ответ школьнику. Если есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!
Шаг 1: Найдите точки пересечения графика функции с осью абсцисс (x-осью). Для этого приравняйте функцию к нулю и решите уравнение:
(x-1)(x^2+8x+15)/(x+5) = 0
Первое условие (x-1) = 0 дает нам x = 1.
Второе условие (x^2+8x+15) = 0 можно решить, используя метод Факторизации или квадратное уравнение. Если мы применяем метод Факторизации, то получаем:
(x+3)(x+5) = 0
Это дает нам два дополнительных значения x: x = -3 и x = -5.
Таким образом, точки пересечения графика функции с x-осью - это точки A(1, 0), B(-3, 0) и C(-5, 0).
Шаг 2: Определите поведение функции до и после точек пересечения x-оси. Для этого рассмотрим знаки функции в интервалах между точками пересечения:
- Берем любое значение x между x = -5 и x = -3, например, x = -4.
- Подставляем x = -4 в функцию и находим значение y:
y = (-4-1)((-4)^2+8(-4)+15)/(-4+5)
= (-5)(16-32+15)/1
= (-5)(-1)/1
= 5
Таким образом, функция для x между x = -5 и x = -3 положительна и растет.
- Берем любое значение x между x = -3 и x = 1, например, x = 0.
- Подставляем x = 0 в функцию и находим значение y:
y = (0-1)((0)^2+8(0)+15)/(0+5)
= (-1)(0+0+15)/5
= (-1)(15)/5
= -3
Таким образом, функция для x между x = -3 и x = 1 отрицательна и убывает.
- Берем любое значение x больше x = 1, например, x = 2.
- Подставляем x = 2 в функцию и находим значение y:
y = (2-1)((2)^2+8(2)+15)/(2+5)
= (1)(4+16+15)/7
= (1)(35)/7
= 5
Таким образом, функция для x > 1 положительна и растет.
Полученная информация позволяет нам построить следующий график функции:
^
|
5 | C
| /
4 |/
| A
3 |
|
2 |
|
1 |
|
0 _|_ _ _ _ _
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Шаг 3: Определите значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. Это происходит, когда прямая y = m пересекает график функции в одной и только одной точке.
Мы видим, что прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции только в том случае, если она пересекает график функции только один раз в одном из трех интервалов:
1) Между точками C и A
2) Между точками A и B
3) После точки A
Найдем значения m для каждого интервала:
1) В интервале между точками C (-5,0) и A (1,0), функция растет и положительна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз выше оси абсцисс и меньше нуля. Таким образом, m < 0.
2) В интервале между точками A (1,0) и B (-3,0), функция убывает и отрицательна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз ниже оси абсцисс и больше нуля. Таким образом, m > 0.
3) После точки A (1,0), функция растет и положительна. То есть, прямая y = m должна пересекать график функции один раз выше оси абсцисс и больше нуля. Таким образом, m > 0.
Таким образом, значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком функции ровно одну общую точку, это m < 0 и m > 0.
Надеюсь, это подробное объяснение поможет понять ответ школьнику. Если есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!