В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов = 1/2 гипотенузы. Доказательство. Дано тр. АВС. Угол С- прямой Доказать: СВ = 1/2 АВ 1)Угол В = 180 - 90 - 30 = 60 гр.(по теореме о сумме углов треуг. 2) Проведём из вершины угла С медиану СF, которая равна по определению медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы, то треугольники CAF и CBF- равнобедренные. По доказанному CF=AF=BF Следовательно, у треуг. CFB углы при основании равны:∠B=∠BCF=60º.Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.Значит, все его стороны равны и
А) Пусть Н - середина ВС, тогда АН - медиана и высота правильного треугольника АВС, SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SBC. Тогда ∠SHO = 45° - линейный угол двугранного угла при ребре основания.
Sпов = Sосн + Sбок Sосн = а²√3 /4, где а - сторона основания. Sосн = 3² · √3 / 4 = 9√3/4 см²
Высота основания: АН = а√3/2 = 3√3/2 см ОН = 1/3 АН = √3/2 см ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos ∠SHO = OH / SH SH = OH / cos∠SHO = √3/2 / (√2/2) = √3/√2 = √6/2 см Sбок = 1/2Pосн · SH. Sбок = 1/2 · 3 · 3 · √6/2 = 9√6/4 см² Sпов = 9√3/4 + 9√6 / 4 = 9√3/4 (1 + √2) см²
б). В ΔSAH проведем АК⊥SH. Проекция АК на плоскость основания лежит на АН, значит перпендикулярна ВС, тогда и АК⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах; АК⊥SH по построению, значит АК перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости SBC, значит АК⊥SBC. Т.е. АК - искомое расстояние от вершины А до противолежащей боковой грани. ΔАКН: ∠АКН = 90°, sin∠AHK = AK/AH AK = AH · sin∠AHK = 3√3/2 · √2/2 = 3√6/4 см
на казахский похож немногр