Решение.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r , окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.
Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF.
Кроме того: O1O = r+x, O1O2 = r+R , O2O = R+x , O1E = r-x , O2D = R-r , O1D =EF=EO+OF , O2F = R-x.
Далее имеем:
(R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) = (r+x)^2 - (r-x)^2(все выражение под корнем) = (R+x)^2 - (R-x)^2;
2*Rx (Rx под корнем) = 2* rx (rx под корнем) + 2*Rx (Rx под корнем)
2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем:
(x+R)^2 - (x-R)^2 (все выражение под корнем) = (R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) + (x+r )^2 - (x-r)^2(все выражение под корнем) ;
2*Rx(Rx под корнем) = 2* Rr(Rr под корнем) +2*rx(rx под корнем)
построим трапецию ABCD
обозначим верхнее основание - а
треуг ABD прямоугольный равнобедренный
ABKD -квадрат со
стороной а
диагональю BD = a√2
площадью S(ABKD)=a^2
площадью треуг ABD - половина квадрата S(ABD)=a^2/2
треуг СBD прямоугольный равнобедренный
BD = BC = a√2
тогда по теореме Пифагора DC=√((a√2)^2+(a√2)^2)= 2a
площадь треуг CBD S(CBD )=1/2 *a√2*a√2=a^2
общая площадь S=S(ABD)+S(CBD )=a^2/2 +a^2 =3*a^2/2 = 18^2
отсюда
3*a^2/2 = 18^2
а=6√6
средняя линия m= (a+2a)/2 = 6√6 /2= 3√6
ответ 3√6