Question

Очень В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса AL. Площадь треугольника ACL равна 36, а синус угла В равен 0, 9. Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

$S_{\Delta ABC}=76$

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок

$S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ACL} +S_{\Delta ABL}$

$S_{\Delta ACL}=0.5\cdot AC\cdot CL = 36$

$S_{\Delta ABL} = 0.5 \cdot AC\cdot BL$

Найдём отношение BL/CL

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

$\displaystyle {\frac{CL}{AC}= \frac{BL}{AB} }$  

или

$\displaystyle {\frac{BL}{CL}= \frac{AB}{AC} }$

Известно, что

$sin~B= \frac{AC}{AB} = 0.9$

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{BL}{CL}= \frac{AB}{AC} }= \frac{10}{9}$

$BL = \frac{10}{9}CL$

Подставим найденное соотношение в формулу для площади ΔABL

$S_{\Delta ABL} = 0.5 \cdot AC\cdot CL \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{9} S_{\Delta ACL} = \frac{10}{9}\cdot 36 = 40$.

$S_{\Delta ABC} = S_{\Delta ACL} +S_{\Delta ABL} = 36 + 40 = 76.$

Answer 2

Привет! Конечно, я могу помочь тебе решить эту задачу. Давай начистоту разберем все шаги.

1. Дано, что площадь треугольника ACL равна 36. Обозначим длину отрезка AL как x и длину отрезка BC как y.

2. Так как биссектриса AL делит угол C на два равных угла, мы можем сказать, что угол CAL также равен углу CAB. Пусть каждый из этих углов равен α.

3. Из условия задачи мы знаем, что синус угла B равен 0,9. Так как у нас есть прямоугольный треугольник ABC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения его гипотенузы AC.

4. По теореме Пифагора получаем, что AC^2 = AB^2 + BC^2. Так как у нас есть прямоугольный треугольник, где угол C — прямой, знаем, что AB^2 + BC^2 = AC^2.

5. Заметим, что у нас уже есть информация о характеристиках угла B (его синус), площади треугольника ACL и длине отрезка AL. Нам нужно найти площадь треугольника ABC, так что можно попробовать как-то использовать все это вместе.

6. Теперь давайте приступим к решению задачи. Площадь треугольника ACL равна 36, что можно записать в виде: 36 = 0,5 * AL * AC * sin α. Заметим, что площадь треугольника можно представить как половину произведения длин двух его сторон и синуса между ними.

7. Поскольку биссектриса AL делит треугольник на две равные части, треугольник ACL является прямоугольным. Также мы знаем, что AC является гипотенузой этого прямоугольного треугольника, а AL — его одной из катетов.

8. Из пункта 4 мы знаем, что AB^2 + BC^2 = AC^2. Заметим, что треугольник ACL — прямоугольный, значит, его площадь можно также записать через теорему Пифагора: 36 = 0,5 * AL * √(AB^2 + BC^2) * sin α.

9. Мы знаем, что sin α = sin B = 0,9. Подставим это значение в уравнение: 36 = 0,5 * AL * √(AB^2 + BC^2) * 0,9.

10. Мы также знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1. В данном случае sin^2 α = 0,81, значит, cos^2 α = 1 - 0,81 = 0,19.

11. Если мы знаем, что cos^2 α = AB^2 / AC^2, то мы можем записать это как AB^2 = 0,19 * AC^2.

12. Теперь мы можем заменить AB^2 в уравнении из пункта 8: 36 = 0,5 * AL * √(0,19 * AC^2 + BC^2) * 0,9.

13. Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: 36 = 0,5 * AL * √(0,19 * AC^2 + BC^2) * 0,9 и AB^2 = 0,19 * AC^2.

14. Мы можем использовать эти уравнения для нахождения значений длин AB, AC и BC, а затем вычислить площадь треугольника ABC.

15. При этом учти, что площадь треугольника ABC равна 0,5 * AB * BC, так как треугольник ABC - прямоугольный.

Это не полное решение, а лишь некоторые ключевые шаги для решения данной задачи. Желательно провести дополнительные вычисления, чтобы получить полное итоговое решение.