1. В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, ВЕ - биссектриса, точка Н лежит на биссектрисе ВЕ, ВЕ равно 5см, АВ равно 10 см. Найдите скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН. Найдите скалярное произведение векторов ВЕ и СВ.
2. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, АС = 6см, АВ = 3 см. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС; АО и ОД; АД и ДС.
Для начала, давайте разберемся с первым вопросом.
1. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, ВЕ - биссектриса, точка Н лежит на биссектрисе ВЕ, ВЕ равно 5см, АВ равно 10 см. Найдите скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН.
Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, мы должны найти их скалярные компоненты.
Длина вектора АС равна длине стороны треугольника АВС, то есть 10 см.
Теперь нам нужно найти сумму векторов НВ и СН. Для этого нам нужно знать длины этих векторов.
Длина вектора НВ равна расстоянию от точки Н до точки В. Поскольку Н лежит на биссектрисе ВЕ, то длина вектора НВ равна половине длины ВЕ. То есть, длина вектора НВ равна 5/2 = 2.5 см.
Длина вектора СН можно найти, поделив длину стороны треугольника АВС пополам, поскольку ВЕ является биссектрисой. То есть, длина вектора СН равна 10/2 = 5 см.
Теперь, чтобы найти сумму векторов НВ и СН, мы складываем их скалярные компоненты:
НВ = (2.5, 0) и СН = (0, 5).
Сумма векторов НВ и СН равна (2.5, 5).
Чтобы найти скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН, мы умножаем соответствующие компоненты векторов и складываем результаты.
АС = (10, 0).
Сумма векторов НВ и СН = (2.5, 5).
Скалярное произведение векторов АС и суммы векторов НВ и СН = 10 * 2.5 + 0 * 5 = 25.
Итак, скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН равно 25.
Теперь перейдем ко второму вопросу.
2. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, АС = 6см, АВ = 3 см. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС; АО и ОД; АД и ДС.
Скалярное произведение векторов определяется как произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними.
Длина вектора АВ равна длине стороны прямоугольника, то есть 3 см.
Длина вектора АС равна длине другой стороны прямоугольника, то есть 6 см.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов АВ и АС, мы умножаем их длины и косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами АВ и АС можно найти с помощью скалярного произведения векторов, деленного на произведение их длин.
cos( угла между АВ и АС) = скалярное произведение векторов АВ и АС / (длина вектора АВ * длина вектора АС).
cos( угла между АВ и АС) = (3 * 6) / (3 * 6) = 1.
Так как косинус угла равен 1 (max значение), то скалярное произведение векторов АВ и АС равно (3 * 6) * 1 = 18.
Теперь давайте найти скалярное произведение векторов АО и ОД.
Вектор АО является диагональю прямоугольника, поэтому его длина равна длине диагонали прямоугольника, то есть 2 * длина одной из сторон. То есть длина вектора АО равна 2 * 3 = 6 см.
Длина вектора ОД равна длине другой диагонали прямоугольника, то есть 2 * длина другой стороны. То есть длина вектора ОД равна 2 * 6 = 12 см.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов АО и ОД, мы умножаем их длины и косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами АО и ОД можно также найти с помощью скалярного произведения векторов, деленного на произведение их длин.
cos( угла между АО и ОД) = скалярное произведение векторов АО и ОД / (длина вектора АО * длина вектора ОД).
cos( угла между АО и ОД) = (6 * 12) / (6 * 12) = 1.
Так как косинус угла равен 1 (max значение), то скалярное произведение векторов АО и ОД равно (6 * 12) * 1 = 72.
Теперь, давайте найдем скалярное произведение векторов АД и ДС.
Вектор АД является диагональю прямоугольника, поэтому его длина также равна 2 * длина одной из сторон. То есть длина вектора АД равна 2 * 3 = 6 см.
Длина вектора ДС равна длине другой стороны прямоугольника, то есть 6 см.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов АД и ДС, мы умножаем их длины и косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами АД и ДС можно найти также с помощью скалярного произведения векторов, деленного на произведение их длин.
cos( угла между АД и ДС) = скалярное произведение векторов АД и ДС / (длина вектора АД * длина вектора ДС).
cos( угла между АД и ДС) = (6 * 6) / (6 * 6) = 1.
Так как косинус угла равен 1 (max значение), то скалярное произведение векторов АД и ДС равно (6 * 6) * 1 = 36.
Ответ:
Скалярное произведение вектора АС и суммы векторов НВ и СН равно 25.
Скалярное произведение векторов АВ и АС равно 18.
Скалярное произведение векторов АО и ОД равно 72.
Скалярное произведение векторов АД и ДС равно 36.