Задача:
Длина окружности, вписанной в правильный треугольник, равна 12π см. Найдите периметр треугольника.
Чтобы найти периметр правильного Δ, нужно знать сторону; что найти сторону, нужно найти радиус вписанной окружности.
Дня нахождения радиуса окружности, воспользуемся формулой длины окружности и выразим из нее радиус:
Теперь воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности в правильный треугольник для нахождения стороны Δ:
Осталось за малым — периметр правильного треугольника:
Периметр треугольника равен 36√3 см.
Объяснение:
Розглянемо взаємне розміщення двох кіл, центри яких точки О1 і O2, а радіуси відповідно r1 і r2, де r1 ≥ r2.
а) Два кола не перетинаються, тобто не мають спільних точок (мал. 190 і мал. 191).
Тоді О1O2 > r1 + r2 (мал. 190) або О1O2 < r1 - r2 (мал. 191).
б) Два кола мають одну спільну точку (мал. 192 і мал. 193).
В цьому випадку кажуть, що кола дотикаються, а спільну точку називають точкою дотику.
Можливі два випадки розміщення: дотик називають зовнішнім, якщо центри кіл розміщенні по різні боки від точки дотику (мал. 192) і внутрішнім, якщо по один бік від спільної точки (мал. 193).
У випадку зовнішнього дотику:
1) О1O2 = r1 + r2.
2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.
3) l О1O2.
У випадку внутрішнього дотику:
1) О1O2 = r1 - r2.
2) У точці А існує спільна дотична l до двох кіл.
3) l О1O2.
в) Два кола мають дві спільні точки (мал. 194).
В цьому випадку: r1 - r2 < О1O2 < r1 + r2.
Приклад 1. Відстань між центрами двох кіл О1O2 = 9 см. Визначте взаємне розміщення цих кіл, якщо їх радіуси дорівнюють: 1) r1 = 6 см; r2 = 3 см; 2) r1 = 7 см; r2 = 4 см; 3) r1 = 2 см; r2 = 5 см.
Розв’язання. 1) 9 = 6 + 3; О1O2 = r1 + r2; зовнішній дотик.
2) 7 – 4 < 9 < 7 + 4; r1 - r2 < О1O2 < r1 + г2; кола перетинаються.
3) 9 > 2 + 5; О1O2 > r1 + r2; кола не перетинаються.
Приклад 2. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами 18 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо вони відносяться як 4:5.
Розв’язання. Позначимо радіуси кіл r1 = 4х см; r2 = 5х см. Тоді r1 + r2 = 18; 4х + 5x = 18; 9х = 18; х = 2. Отже, r1 = 4 ∙ 2 = 8 (см), r2 = 5 ∙ 2 = 10 (см).