Question

Усі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом 60 градусів. Зайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо її основа - трикутник зі сторонами 12 см, 39 см, і 45 см.

Answer 1

Нехай є трикутна піраміда, сторони основи якої $AB = 12$ см, $BC = 39$ см, $AC = 45$ см. Якщо всі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом $60^{\circ}$, то висота $SO$ піраміди лежить у центрі $O$ вписаного кола, де $ON$, $OM$ та $OK$ — радіуси цього кола.

Треба знайти площу $S_{b}$ бічної поверхні піраміди. Для того щоб її знайти, треба визначити площу кожної бічної грані.

Знайдемо площу основи за формулою Герона:

$p = \dfrac{AB + BC + AC}{2} = \dfrac{12 + 39 + 45}{2} = \dfrac{96}{2} = 48$ см — півпериметр основи.

$S_{o} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{48(48 -12)(48 - 39)(48 - 45)} =\\$

$= \sqrt{48 \cdot 36 \cdot 9 \cdot 3} = 6 \cdot 3 \cdot \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 3} = 18 \cdot 4 \cdot 3 = 216$ см² — площа основи.

Знайдемо радіус вписаного кола:

$r = \dfrac{S_{o}}{p} = \dfrac{216}{48} = 4,5$ см.

Отже, $ON = OM = OK = 4,5$ см.

$SO \perp OM, \ SO \perp ON, \ SO \perp OK$, де $OM \perp BC, \ ON \perp AB, \ OK \perp AC$ як радіуси вписаного кола, а $BC, \ AB$ та $AC$ — дотичні. Тут $OM, \ ON, \ OK$ — проекції відповідно $SM, \ SN, \ SK$ на площину $(ABC)$. Отже, $SM \perp BC, \ SN \perp AB, \ SK \perp AC$ за теоремою про три перпендикуляри. Тому $\angle SMO, \ \angle SNO, \ \angle SKO = 60^{\circ}$ — лінійні кути двогранного кута відповідно при ребрах $BC, \ AB, \ AC$.

Розглянемо прямокутний трикутник $SOM \ (\angle O = 90^{\circ}):$

$SM = \dfrac{OM}{\cos \angle SMO} = \dfrac{4,5}{0,5} = 9$ см $= SN = SK$ (за першою ознакою рівності трикутників $SOM, \ SON, \ SOK$).

Розглянемо трикутник $SBC:$

$S_{1} = \dfrac{1}{2} \cdot SM \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 39 = 175,5$ см²

Розглянемо трикутник $SAB:$

$S_{2} = \dfrac{1}{2} \cdot SN \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см²

Розглянемо трикутник $SAC:$

$S_{3} = \dfrac{1}{2} \cdot SK \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 45 = 202,5$ см²

Отже, площею бічної поверхні заданої піраміди буде $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 175,5 + 54 + 202,5 = 432$ см².

Відповідь: 432 см².