Question

Вариант 1. В прямоугольном треугольнике угол
С прямой. ВС = 4, AB=8.
A) Найдите угол между векторами
CB и AC : ВС и ВА : AB и
СА ; BA и AC ;​

Answer 1

Для решения этой задачи нам потребуется знание теоремы косинусов.

Теорема косинусов гласит:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим эту теорему к заданному треугольнику ABC.

Мы знаем, что AB = 8 и BC = 4.
Пусть AC = a (длина гипотенузы).

Тогда по теореме косинусов получаем:

a^2 = AB^2 + BC^2
a^2 = 8^2 + 4^2
a^2 = 64 + 16
a^2 = 80
a = √80
a = 4√5

Итак, мы нашли длину гипотенузы AC, которая равна 4√5.

Теперь можем рассмотреть углы между векторами CB и AC, ВС и ВА, AB и СА, BA и AC.

1) Угол между векторами CB и AC:

Для нахождения угла между двумя векторами можно использовать следующую формулу:

cos(θ) = (CB * AC) / (|CB| * |AC|),

где CB * AC - скалярное произведение векторов CB и AC;
|CB| - длина вектора CB;
|AC| - длина вектора AC.

Таким образом:

CB * AC = (-1 * 4√5) + (8 * 0)
CB * AC = -4√5
|CB| = √((-1)^2 + 8^2) = √65
|AC| = 4√5

cos(θ) = (-4√5) / (√65 * 4√5)
cos(θ) = -1 / √65
cos(θ) = -√65 / 65

Угол θ между векторами CB и AC можно найти, применяя арккосинус:

θ = arccos(-√65 / 65)

2) Угол между векторами ВС и ВА:

ВС и ВА это противоположные стороны прямоугольного треугольника, поэтому угол между ними равен 90 градусов.

3) Угол между векторами AB и СА:

AB и СА образуют прямой угол, поэтому угол между ними также равен 90 градусов.

4) Угол между векторами BA и AC:

BA и AC являются двумя катетами прямоугольного треугольника, поэтому угол между ними равен 45 градусов (уже зная, что Косинус 45 град. = √2/2)

Таким образом:
A) Угол между векторами CB и AC: θ = arccos(-√65 / 65)
B) Угол между векторами ВС и ВА: 90 градусов
C) Угол между векторами AB и СА: 90 градусов
D) Угол между векторами BA и AC: 45 градусов