Вариант 1). Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.
* * *
Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)
Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.
Квадрат касается сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.
r=8:2=4 см
Пусть центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н.
Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)
Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2
По т.Пифагора
ОH²=OC²-HC²64-32=32
Обозначим точку касания квадрата и сферы Р.
Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку