Длины сторон неравнобедренного треугольника ABC с тупым углом A равны a, b, c (сторона a лежит напротив - id1072790320211226 от SofyaA3 26.12.2021 09:15

Question

Геометрия: Длины сторон неравнобедренного треугольника ABC с тупым углом A равны a, b, c (сторона a лежит напротив угла A). Высота и медиана, проведенные к стороне a, имеют длины ha и ma соответственно. Рассмотрим 8 величин: (b+c)/2, ma, ha, (a+b+c)/4, (b+c−a)/2, a/2, (a+b+c)/2, a. Упорядочите их в порядке убывания. В качестве ответа введите в нужном порядке числа от 1 до 8 через пробел (например, «1 8 2 7 3 6 4 5»).

SofyaA3 · Accepted Answer

подобие

Sтрапеции = 1/2(AD + BC)h, где h - высота трапеции.

Пусть a1 = BC (меньшее основание), a2 = AD (большее основание), h1 - высота треугольника BOC, h2 - высота треугольника AOD (обе высоты проведены на из точки О).

Тогда Sтрапеции = 1/2(a1 + a2)(h1 + h2).

Угол CAD = углу BCA(как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC),

Угол DBC = углу ADC(как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD),

значит, ΔBOC подобен ΔDOA (по двум углам).

По теореме о соотношении площадей подобных треугольников

SΔAOD/SΔBOC = k^2 (k - коэффициент подобия).

SΔAOD/SΔBOC = 8/2 = 4 => k = 2.

Значит, a2/a1 = h2/h1 = 2.

h2 = 2h1, a2 = 2a1 => Sтрапеции = 1/2 * 3a1 * 3h1 = 3a1*h1.

SΔBOC = 1/2*a1*h1 = 2 => a1*h1 = 4.

Итак, Sтрапеции = 3*4 = 12.

MOGZ ответил