Длина отрезка равна 6. Постройте систему координат, в которой можно было бы легко найти координаты: 1) концов этого отрезка: 2) вершин равностороннего треугольника со стороной, равной 6.
Так как в условии ничего нет про угол, под которым отрезок пересекает плоскость, примем его за 90°. В этом случае действительно можно говорить о том, что расстояния от концов отрезка до плоскости являются частями самого отрезка, то есть перпендикуляры из концов отрезка на плоскость совпадают с самим отрезком. Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм) и L/2 = 7,5 (cм) Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть: h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)
ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см
Решение через подобие треугольников. (см. рис.)
Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость. Следовательно, АА₁⊥α и ВВ₁⊥α. Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁. Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О: Данные треугольники являются прямоугольными и ∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные. Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4 Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х
Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁: Так как СС₁⊥α => CC₁⊥A₁B₁ ∠АОА₁ - общий Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и АО/CO = 12/CC₁ 4x/1,5x = 12/CC₁ CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)
параллелограмм АВСД, АК/КВ=2/1=2у/у, АЛ/ЛД=1/3=х/3х, АД=х+3х=4х=ВС, ВМ/МС=1/1 или 2х/2х, из точки Л проводим линию ЛЕ параллельную АВ на ВС, АЛ=ВЕ=х=ЕМ, треугольник ВЛМ ЛЕ-медиана которая делит его на два равновеликих треугольника, S ВЛЕ= S ЕЛМ =S, площадь ВЛМ=S ВЛЕ + S ЕЛМ =2S, АВ=АК+КВ=у+2у=3у, АВМЛ-параллелограм ЛВ-диагональ, площ.АВЛ=площВЛЕ= S, из точки Л проводим высоту ЛТ на АВ, площ.АВЛ=1/2*АВ*ЛТ=1/2*3у*ЛТ, площ.КВЛ=1/2*ВК*ЛТ=1/2*у*ЛТ, площАВЛ/площКВЛ=(1/2*3у*ЛТ)/(1/2*у*ЛТ)=3/1, 3*площ.КВЛ=площАВЛ=S, площКВЛ=S/3, площКВЛ/площВЛМ=(S/3)/2S=1/6
Тогда длина отрезка: L = h₁+h₂ = 3 + 12 = 15 (cм)
и L/2 = 7,5 (cм)
Так как концы отрезка находятся по разные стороны плоскости, расстояние от середины отрезка до плоскости будет меньше половины длины отрезка на величину расстояния от ближнего к плоскости конца отрезка до самой плоскости. То есть:
h = L/2 - h₁ = 7,5 - 3 = 4,5 (см)
ответ: расстояние от середины отрезка до плоскости 4,5 см
Решение через подобие треугольников. (см. рис.)
Расстоянием от точки до плоскости является перпендикуляр, опущенный из этой точки на данную плоскость.
Следовательно, АА₁⊥α и ВВ₁⊥α.
Через точки А₁ и В₁ проведем прямую А₁В₁.
Рассмотрим треугольники АА₁О и ВВ₁О:
Данные треугольники являются прямоугольными и
∠АОА₁=∠ВОВ₁, как вертикальные.
Значит, данные треугольники подобны по двум углам, и АО/ОВ = 12/3 = 4
Обозначим ОВ₁=х, тогда ОА₁=4х
Весь отрезок АВ=х+4х=5х, и половина отрезка АВ:2 = АС = СВ = 5х:2 = 2,5х
Тогда отрезок ОС = 4х-2,5х = 1,5х
Рассмотрим треугольники АОА₁ и СОС₁:
Так как СС₁⊥α => CC₁⊥A₁B₁
∠АОА₁ - общий
Следовательно, эти треугольники также подобны по двум углам, и
АО/CO = 12/CC₁
4x/1,5x = 12/CC₁
CC₁ = 12*1,5/4 = 4,5 (см)
ответ: 4,5 см