Question

Если l—биссектриса треугольника (рис.1), то верно свойство:
а)

б)

в)

г)

Можно с объяснениями
​

Answer 1

Рассмотрим рис.1:

A
/ \
/ \
/ \
B---------C

l - биссектриса треугольника ABC

Чтобы ответить на данный вопрос, мы должны знать свойства биссектрисы треугольника.

Свойство 1: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Теперь докажем это свойство:

Пусть BD - биссектриса, и пусть AE, CD - высоты треугольника ABC. Обозначим стороны треугольника через a, b и c, соответственно.

Таким образом, из свойств прямоугольного треугольника получаем:

AB^2 = AE * EB (1)

CB^2 = CD * DB (2)

Также по заданному свойству биссектрисы, отношение BD/DC равно отношению AB/AC.

BD/DC = AB/AC (3)

Также из подобия треугольников ADE и ABC получаем:

AE/AC = DE/BC (4)

Из подобия треугольников DEC и ABC получаем:

ED/AC = DC/AB (5)

Из (3) и (4) получаем:

BD/DC = AE/AC = DE/BC (6)

Также из (3) и (5) получаем:

BD/DC = ED/AC = DC/AB (7)

Используя (2), (6) и (7), получаем:

CB^2 = BD * DC = CD * DB = AB * DE

Заметим, что CB^2 = AB * DE - это теорема о потеренном произведении.

Таким образом, мы доказали свойство биссектрисы треугольника - она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Возвращаясь к нашему вопросу, мы видим, что данное свойство соответствует свойству Б. Ответ: б).

Резюмируя, это было доказательство свойства биссектрисы треугольника, а ответ на вопрос - свойство Б.