H - точка пересечения высот; O — центр вписанной окружности; Q — центр описанной окружности. Найди разность углов AOB и AQB, если угол AHB равен 156 градусов.
Сторона BC треугольника ABC(AB=13,BC=15,AC=14) лежит в плоскости альфа, расстояние от точки А до плоскости альфа равно 7. Определите расстояние от точек B1 и C1 до плоскости альфа, где BB1 и CC1 высоты треугольника ABC. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. --(task/24621882) рисунок в прикрепленном файле
схема решения : 1. Доказать, что треугольник ABC остроугольный ; тем самым доказывается , что точки B1 и C1 ( основания высот) лежат на сторонах AC и AB соответственно . 2. Вычислить площадь треугольника по формуле Герона. 3.Определить высоты BB₁ и CC₁ треугольника ABC( BB₁⊥AC,CC₁ ⊥AB). 4. Вычислить отрезки CB₁ и BC₁ . 5. Вычислить расстояния от точек B₁ и C₁ до плоскости α (C₁C₂ ⊥ α , B₁B₂ ⊥ α)
Элементы произвольного треугольника ABC обычно обозначаются так: BC, CA, AB — стороны; a, b, c — их длины; α, β, γ — величины противолежащих углов; ha, ma, la — высота, медиана и биссектриса, выходящие из вершины A; R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности; S — площадь, p — полупериметр. Отметим, что в отдельных задачах обозначения могут отличаться от стандартных. Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть c2 = a2 + b2, где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения: a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,
где c — гипотенуза треугольника.
Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства: h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.
Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).
Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).
Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.
Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).
4
Последняя формула называется формулой Герона.
Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).
Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть b : c = x : y.
Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)
.
Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).
Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).
Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы).
Доказательства некоторых теорем
Доказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов:
BD2 = AB2 + AD2 – 2∙AB∙AD∙cos ∠BAD; CD2 = AC2 + AD2 – 2∙AC∙AD∙cos ∠CAD. Или, что то же самое,
Выразим из каждого неравенства и приравняем полученные результаты:
Применив теперь к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что
Сторона BC треугольника ABC(AB=13,BC=15,AC=14) лежит в плоскости альфа, расстояние от точки А до плоскости альфа равно 7. Определите расстояние от точек B1 и C1 до плоскости альфа, где BB1 и CC1 высоты треугольника ABC.
---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. ---.---.----. --(task/24621882)
рисунок в прикрепленном файле
схема решения :
1. Доказать, что треугольник ABC остроугольный ; тем самым доказывается , что точки B1 и C1 ( основания высот) лежат на сторонах AC и AB соответственно .
2. Вычислить площадь треугольника по формуле Герона.
3.Определить высоты BB₁ и CC₁ треугольника ABC( BB₁⊥AC,CC₁ ⊥AB).
4. Вычислить отрезки CB₁ и BC₁ .
5. Вычислить расстояния от точек B₁ и C₁ до плоскости α
(C₁C₂ ⊥ α , B₁B₂ ⊥ α)
1.
BC² < AB² +AC² значит треугольник остроугольный
15² < 13² +14² || 225 < 169 + 196 = 365 ||
---
2.
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ,где p =(a+b+c) /2 = (15+14+13)/2 =21(полупериметр)
S =√21(21-15)(21-14)(21-13) = √21*6*7*8= √7*3*6*7*2*4 = 7*6*2=84.
---
3.
S =AC* BB₁ /2 ⇒BB₁ = 2S/ AC
BB₁=2*84/14 =12.
S =AB*CC₁ /2⇒CC₁ =2S/AB
CC₁ =2*84/13 =168/13 ;
---
4.
из ΔCB₁B :
CB₁ =√(BC² - BB₁²) =√(15² - 12²) =9.
* * *√(15 -12)(15+12) =√(3*27) или √(15² - 12²) =√(225 - 144)=√81 =9 * * *
из ΔВC₁С :
ВC₁ =√(BC² -СC₁²) =√(15² - (168/13)²) =√(15 -168/13)(15 +168/13) =
√(27/13)*(363/13) =(1/13)√(3*9 *3*121) =99/13 .
---
5.
ΔB₁B₂C ~ ΔADC ;
B₁B₂ /AD = CB₁ /CA ⇒ B₁B₂= (CB₁ /CA)*AD = (9/14)*7 = 4,5.
--
ΔC₁C₂B ~ ΔADB ;
C₁C₂/AD = BC₁/BA ⇒ C₁C₂ =(BC₁/BA)*AD =(99/13²)*7 =693 /169.≈4,1
ответ: 4,5 ; 693/169 ≈4,1.