Question

На стороне AD и на диагонали АС параллелограмма ABCD отметили
соответственно точки МиN так, что AM = 2 AD и AN = 2 AC. До-
кажите, что точки M, Nи В лежат на одной прямой.​

Answer 1

Чтобы показать, что точки M, N и B лежат на одной прямой, нам нужно доказать, что отношение длин отрезков MB и MN одинаковое.

Для начала, давайте найдем отношения AM к AB и AN к AD.

Мы знаем, что AM = 2AD. В параллелограмме ABCD, AD является диагональю, поэтому отношение AM к AB будет таким же, как отношение AD к AC.

То есть, AM/AB = AD/AC.

Аналогично, AN = 2AC, поэтому отношение AN к AD будет таким же, как отношение AC к AB.

То есть, AN/AD = AC/AB.

Теперь, давайте рассмотрим отношение длин отрезков MB к MN. Мы знаем, что MB = AB - AM и MN = AC - AN. Подставим эти значения в отношение и проверим, что оно одинаковое.

MB/MN = (AB - AM)/(AC - AN).

Раскроем скобки:

MB/MN = (AB - 2AD)/(AC - 2AC).

Упростим выражение:

MB/MN = AB/AC - 2AD/AC - 2AB/AC + 4AD/AC.

Так как AM/AB = AD/AC и AN/AD = AC/AB, мы можем заменить эти отношения в выражении:

MB/MN = AB/AC - 2(AM/AB) - 2(AN/AD) + 4(AD/AC).

Теперь, мы видим, что в этом выражении присутствуют отношения AM/AB и AN/AD, которые мы уже знаем равны AD/AC и AC/AB соответственно. Подставим эти значения:

MB/MN = AB/AC - 2(AD/AC) - 2(AC/AB) + 4(AD/AC).

Упростим:

MB/MN = AB/AC - 2AD/AC - 2AC/AB + 4AD/AC.

Теперь, давайте рассмотрим выражение AB/AC - 2AD/AC - 2AC/AB + 4AD/AC. Мы знаем, что AB/AC = AC/AB, поэтому это выражение можно преобразовать:

MB/MN = AC/AB - 2AD/AC - 2AC/AB + 4AD/AC.

После сокращения подобных членов:

MB/MN = -AD/AC + 2AD/AC.

MB/MN = AD/AC.

Таким образом, мы показали, что отношение длин отрезков MB и MN равно отношению длин отрезков AD и AC.

Это означает, что точки M, N и B лежат на одной прямой, так как отношение их расстояний одинаковое.

Итак, мы доказали, что точки M, N и B лежат на одной прямой.