2.Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»?
3. Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется?
1.Верно ли утверждение: «Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной»? Обоснуйте ответ.
2.Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»?
3. Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется?
Ответ: Да, данное утверждение верно. Пусть у нас есть плоскость и наклонная прямая, которая лежит в этой плоскости. Рассмотрим перпендикуляр к этой прямой на плоскости. По определению перпендикулярности, данный перпендикуляр будет пересекать наклонную прямую под прямым углом. Теперь проектируем наклонную прямую на данную плоскость. Поскольку перпендикуляр пересекает наклонную прямую под прямым углом, а проекция сохраняет углы, получаем, что перпендикуляр к проекции будет перпендикулярен и самой наклонной прямой.
2. Верно ли утверждение: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна наклонной»?
Ответ: Нет, данное утверждение неверно. Рассмотрим пример: пусть у нас есть плоскость и наклонная прямая, которая лежит в этой плоскости. Теперь рассмотрим прямую, которая перпендикулярна проекции данной наклонной на плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, мы можем утверждать, что данная прямая будет перпендикулярна и самой наклонной прямой. Однако, данное утверждение говорит о том, что если прямая перпендикулярна проекции наклонной, она будет перпендикулярна и самой наклонной прямой, что неверно. Таким образом, пример показывает, что данное утверждение неверно.
3. Какое условие теоремы о трех перпендикулярах здесь не выполняется?
Ответ: Условием теоремы о трех перпендикулярах является то, что некоторая прямая перпендикулярна какой-либо другой прямой, а также перпендикулярна плоскости, в которой лежит эта другая прямая. В случае с утверждением 2, нарушается первое условие теоремы о трех перпендикулярах, так как прямая, которая перпендикулярна проекции наклонной, не обязательно перпендикулярна и самой наклонной прямой.