1) Чтобы найти проекцию точки Р(-2;-1;5) на ось OZ, нам нужно проецировать координаты точки на ось Z и оставлять остальные координаты неизменными.
- Ось Z определяется координатами (0, 0, z), где z - произвольное число.
- В нашем случае, точка Р имеет координаты (-2,-1,5) и проецирование на ось Z означает оставить x и y координаты неизменными и изменить z-координату на 0.
Таким образом, проекция точки Р на ось OZ будет (0,-1,0).
2) Чтобы найти точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, необходимо найти точки, у которых z-координата равна 0.
- Ось OX определяется координатами (x, 0, 0), где x - произвольное число.
- Ось OY определяется координатами (0, y, 0), где y - произвольное число.
Таким образом, точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, будут иметь координаты вида (x, y, 0).
Исходя из предложенных вариантов ответа:
- а) (0, 2, 0) лежит на координатной плоскости ОХУ, потому что z-координата равна 0.
- б) (-1, 0, 0) также лежит на плоскости ОХУ, потому что у него z-координата равна 0.
- в) (1, 3, 5) не лежит на плоскости ОХУ, потому что у него z-координата не равна 0.
- г) (2, 3, 0) лежит на плоскости ОХУ, так как z-координата равна 0.
- д) (0, 1, 5) не лежит на плоскости ОХУ, так как z-координата не равна 0.
- е) (-3, 0, 5) также не лежит на плоскости ОХУ, поскольку z-координата не равна 0.
Таким образом, точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, это точки а) (0,2,0), б) (-1,0,0) и г) (2,3,0).
3) Чтобы найти координаты вектора, вам нужно найти разность между соответствующими координатами конечной точки и начальной точки вектора.
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор д) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
4) Для того чтобы найти координаты вектора , нужно вычесть соответствующие координаты векторов и .
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
5) Чтобы найти координаты вектора , если А(3;4;-2) и В(4;1;5), нужно вычесть соответствующие координаты точек А и В.
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
6) По рисунку1 нам дано, что ОА = 6, ОО1 = 2, ОС = 5 и нам нужно найти координаты точек В1 и С1.
Для того чтобы найти координаты точки В1, нам нужно вычесть из координат точки А координаты вектора ОО1.
- Координаты точки В1 будут (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
Для того чтобы найти координаты точки С1, нам нужно вычесть из координат точки А координаты вектора ОС.
- Координаты точки С1 будут (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
1. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости, не имеют общей точки и не совпадают. Ответ: В.
Для обоснования этого ответа можно представить себе, что на плоскости нарисованы две прямые, которые не пересекаются и не совпадают друг с другом. Если мы продолжим эти прямые в любом направлении, они также будут сохранять свою параллельность. Это происходит потому, что плоскость, на которой лежат прямые, является общей для них и не представляет препятствия для их продолжения.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Ответ: Б.
Обоснование: Возьмем третью прямую, которая пересекает одну из параллельных прямых. Поскольку она пересекает одну прямую, но параллельна другой, она не может пересекать вторую прямую. Таким образом, первая и вторая прямые не пересекаются, а следовательно, они параллельны между собой.
3. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки. Ответ: Б.
Обоснование: Если прямая и плоскость не имеют общей точки, это означает, что прямая не пересекает плоскость. В таком случае говорят, что прямая и плоскость параллельны.
4. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Ответ: А.
Пояснение: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то она также будет параллельна этой прямой. Линия пересечения двух плоскостей образует угол с этой параллельной прямой и, следовательно, перпендикулярна ей.
5. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда эта прямая перпендикулярна проекции наклонной. Ответ: Г.
Обоснование: Если прямая лежит в плоскости и перпендикулярна наклонной плоскости, то она также будет перпендикулярна проекции этой наклонной плоскости на плоскость, в которой она лежит.
6. Если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости, то эта прямая перпендикулярна данной плоскости. Ответ: Г.
Пояснение: Если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости, то она всегда будет перпендикулярна данной плоскости. Угол между этой прямой и любой прямой, лежащей в плоскости, будет равен 90 градусам.
7. Если две пересекающиеся прямые плоскости α параллельны двум прямым плоскости β, то эти плоскости соответственно параллельны. Ответ: В.
Обоснование: Если две пересекающиеся прямые плоскости α параллельны двум прямым плоскости β, то это означает, что плоскости α и β не пересекаются друг с другом и параллельны.
8. Расстояние от середины М отрезка АВ до плоскости, на которой лежит этот отрезок, можно найти, используя теорему о прямоугольных треугольниках. Согласно этой теореме, расстояние от середины отрезка до плоскости равно половине длины перпендикуляра, проведенного из середины отрезка к плоскости. В данном случае, для нахождения расстояния от середины М до плоскости, нам нужно найти длину перпендикуляра, проведенного из М к плоскости.
Поскольку отрезок АВ не пересекает плоскость, то перпендикуляр из М к плоскости будет опускаться на одно расстояние от АВ. Это расстояние можно найти, используя данные о расстоянии от концов отрезка до плоскости. Расстояние от середины М до плоскости будет равно полусумме этих двух расстояний.
9. Расстояние между основаниями столбов можно найти, используя теорему Пифагора. Расстояние между основаниями столбов будет равно корню из суммы квадратов разности высот столбов и длины перекладины.
10. Расстояние от точки D до прямой BC можно найти, используя теорему о высотах равностороннего треугольника. Согласно этой теореме, высота равностороннего треугольника делит его биссектрису (AD) на отрезки в отношении 2:1, где 2 - это длина отрезка, находящегося между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной, а 1 - это длина отрезка, находящегося между точкой пересечения биссектрисы и противоположной стороной.
В данной задаче, если АD=3 дм и BC=6 дм, то расстояние от точки D до прямой ВС будет составлять 2 дм.
11. Длина отрезка А1В1 может быть найдена, используя свойство пропорциональности, которое гласит: если две прямые пересекают одну из параллельных прямых, то отрезки, образованные пересечением одной прямой с параллельными, пропорциональны друг другу. В данном случае, отрезок АА1 делится отношением 5:3, поэтому отрезок ВВ1 тоже будет делиться этим же отношением. Если АВ=8 см, то длина отрезка А1В1 будет равна (8 * 3) / (5 + 3) = 24 / 8 = 3 см.
- Ось Z определяется координатами (0, 0, z), где z - произвольное число.
- В нашем случае, точка Р имеет координаты (-2,-1,5) и проецирование на ось Z означает оставить x и y координаты неизменными и изменить z-координату на 0.
Таким образом, проекция точки Р на ось OZ будет (0,-1,0).
2) Чтобы найти точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, необходимо найти точки, у которых z-координата равна 0.
- Ось OX определяется координатами (x, 0, 0), где x - произвольное число.
- Ось OY определяется координатами (0, y, 0), где y - произвольное число.
Таким образом, точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, будут иметь координаты вида (x, y, 0).
Исходя из предложенных вариантов ответа:
- а) (0, 2, 0) лежит на координатной плоскости ОХУ, потому что z-координата равна 0.
- б) (-1, 0, 0) также лежит на плоскости ОХУ, потому что у него z-координата равна 0.
- в) (1, 3, 5) не лежит на плоскости ОХУ, потому что у него z-координата не равна 0.
- г) (2, 3, 0) лежит на плоскости ОХУ, так как z-координата равна 0.
- д) (0, 1, 5) не лежит на плоскости ОХУ, так как z-координата не равна 0.
- е) (-3, 0, 5) также не лежит на плоскости ОХУ, поскольку z-координата не равна 0.
Таким образом, точки, лежащие на координатной плоскости ОХУ, это точки а) (0,2,0), б) (-1,0,0) и г) (2,3,0).
3) Чтобы найти координаты вектора, вам нужно найти разность между соответствующими координатами конечной точки и начальной точки вектора.
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор д) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
4) Для того чтобы найти координаты вектора , нужно вычесть соответствующие координаты векторов и .
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
5) Чтобы найти координаты вектора , если А(3;4;-2) и В(4;1;5), нужно вычесть соответствующие координаты точек А и В.
- Вектор а) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор б) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор в) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
- Вектор г) будет иметь координаты (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
6) По рисунку1 нам дано, что ОА = 6, ОО1 = 2, ОС = 5 и нам нужно найти координаты точек В1 и С1.
Для того чтобы найти координаты точки В1, нам нужно вычесть из координат точки А координаты вектора ОО1.
- Координаты точки В1 будут (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).
Для того чтобы найти координаты точки С1, нам нужно вычесть из координат точки А координаты вектора ОС.
- Координаты точки С1 будут (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2).