В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай). а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно, Sbnl=Scnl (свойство медианы). Но Sabln=Sdcln - дано. Значит и Sabn=Sdcn. Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны. Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD, что и требовалось доказать. б) АВСD - трапеция (доказано выше). КМ - ее средняя линия. Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции). Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2. Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции. Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM). КМ=(ВС+АD)/2. Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано) 51ВС+17AD=11BC+33AD. 40BC=16AD. ВC/AD=2/5.
Обозначим точки пересечения прямой, параллельной АВ,
с АС - К, с ВС -М.
Примем площадь ∆ АВС=S , площадь ∆ СКМ=S₁, площадь четырёухугольника АКМВ=S₂
Тогда S=S₁+S₂
По условию S₁=2 S₂, след. S₂=0,5S₁
Выразим площадь ∆ АВС через S₁
S=S₁+0,5S₁=1,5S₁
КМ║АВ,⇒ треугольники АВС и КМС подобны ( соответственные углы при КМ и АВ равны, угол С - общий).
Отношение их площадей 1,5S₁:S₁=1,5 или 3/2
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров.
k²=3/2
k=√(3/2)
CM:BM=√3:√2 – это ответ.