Прямая АВ лежит в плоскости АВС, а прямая с эту плоскость пересекает в точке С, не принадлежащей прямой АВ.
Прямая с и прямая АВ - скрещивающиеся.
Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется длиной их общего перпендикуляра.
Проведем СН⊥АВ.
Прямая с перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.⇒ с⊥СН
Длина СН - искомое расстояние.
СН⊥АВ и является высотой ∆ АВС.
Из площади прямоугольного треугольника
S=0,5•AC•СB
S=0,5•CH•AB⇒
СН=АС•ВС:АВ
По т.Пифагора АВ= √(AC*+BC*)=√(9+16)=5 дм
СН= 3•4:5=2,4 дм
АК, ВМ и СТ - медианы треугольника АВС.
Надо доказать, что АК + ВМ + СТ < АВ + ВС + АС.
Отложим на луче АК отрезок КО = АК.
КО = АК по построению, ВК = КС, так как АК медиана.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
Значит АВОС - параллелограмм. Тогда ВО = АС.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит в треугольнике АВО: АО < AB + BO, а значит и 2АК < АВ + АС, т.е.
АК < 1/2 (АВ + АС)
Аналогично, построив параллелограммы с диагоналями, содержащими две другие медианы, докажем , что
ВМ < 1/2 (ВА + ВС) и
СТ < 1/2 (СА + СВ)
Сложим эти три неравенства:
АК + ВМ + СТ < 1/2 АВ + 1/2 АС + 1/2 ВА + 1/2 ВС + 1/2 СА + 1/2 СВ
АК + ВМ + СТ < АВ + АС + ВС
АК + ВМ + СТ < Рabc