Первый вопрос, который надо выяснить - в каком отношении точка O делит BM. (В общем случае ответ дает теорема Чевы (и Ван-Обеля), но в данном случае есть уникальная возможность сразу получить ответ.) Я продлеваю сторону AB за точку B до точки D, так, что AB = BD; точку D я соединяю с вершиной C. В треугольнике ADC BM - средняя линия, то есть BM II DC; кроме того, отрезок CB играет роль медианы. Поскольку BK:KC = 1:2; точка K - центроид треугольника ADC (ну, проще говоря, точка пересечения медиан). Поэтому AK - часть медианы ADC (при продолжении AK за точку K эта прямая разделит DC пополам в точке, которую я обозначу N). Само собой, это означает, что AK делит пополам и BM (там подобные треугольники ANC и AOM, AND и AOB, и CN = ND => MO = OB). Итак, точка O делит BM пополам. (Кажется, я так длинно изложил, но "в голове" это всего один шажок). Дальше все просто - из полученного следует, что от точки O до BC расстояние в 2 раза меньше, чем от точки M до BC. И BK = BC/3; Поэтому площадь BOK равна (1/2)*(1/3) = 1/6 от площади BMC; (ну, высота к основанию меньше в 2 раза, а само основание - в 3, роль "основания" играют BC и BK) а площадь BMC составляет 1/2 от площади ABC (аналогично предыдущему замечанию в скобках, только тут "основания" - AM и AC, а высота - расстояние от B до AС, в этом случае высота общая) ответ 1/12
Нарисуем треугольник АВС.
Проведем в нем высоты АК и СМ.
По условию задачи они пересекаются под углом 110º.
1) Рассмотрим треугольник АМС.
Угол АМС =90º
Сумма острых углов в нем 90º, ∠А=70º по условию, следовательно,
∠ МСА=90º-70º=20º.
2)Рассмотрим треугольник АDС.
Так как ∠МСА=20 градусов,
то ∠DAC=180-110-20=50º.
3)Так как ∠ А=70º, а
∠КАС=50º,то ∠ВАК=70-50-20º
4)В прямоугольном треугольнике АВК ∠АКВ прямой, ∠ВАК=20º, следовательно, ∠В=90-20=70º
5) В треугольнике АВС ∠С=180-70-70=40º
ответ: Угол С=40º