Если известна только гипотенуза, можно найти лишь интервал в котором будет расположен размер высоты. В этом легко наглядно добиться, если нарисовать окружность и принять диаметр в ней за гипотенузу. Любой треугольник в этой окружности с имеющейся гипотенузой и катетами, проведёнными к любой точке окружности будет прямоугольным, так ка вписанный угол опирается на дугу в 180°. Очевидно, что высоты эти тр-ков будут разными, но наибольшая высота будет равна радиусу окружности, то есть половине гипотенузы. h=√((c/2)·(c/2))=√(c²/4)=c/2.
Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠A -тупой, CF и BE - его высоты, проведенные к сторонам AB и AC соответственно, и пусть продолжения этих высот пересекаются в точке D. Т.к. угол А - тупой, то D лежит вне ABC. Тогда ∠CAB=180°-∠CAF. Но ∠CAF=∠CDE, т.к. треугольники CAF и CDE - прямоугольные с общим углом С, т.е. ∠CAB=180°-∠CDE. Значит sin(∠CAB)=sin(180°-∠CDE)=sin(∠CDE)=sin(∠CDB). По теореме синусов радиус окружности, описанной около ABC, равен BC/(2sin(∠CAB)), а радиус окружности, описанной около CDB равен BC/(2sin(∠CDB)). В силу равенства синусов, получаем равенство радиусов этих окружностей, что и требовалось.
В этом легко наглядно добиться, если нарисовать окружность и принять диаметр в ней за гипотенузу. Любой треугольник в этой окружности с имеющейся гипотенузой и катетами, проведёнными к любой точке окружности будет прямоугольным, так ка вписанный угол опирается на дугу в 180°.
Очевидно, что высоты эти тр-ков будут разными, но наибольшая высота будет равна радиусу окружности, то есть половине гипотенузы. h=√((c/2)·(c/2))=√(c²/4)=c/2.