Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ. В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД. ВС=2ВД=2АВ По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ 2АВ/ЕС=АВ/АЕ ЕС=2АЕ АС=АЕ+ЕС=3АЕ Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М. ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД). Значит АС=ВМ=3АЕ. ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам: АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3 ЕО/ВО=1/3 ВО=3ЕО ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО ЕО=ВЕ/4=4/4=1 ВО=3 Из прямоугольного ΔАОВ: АВ²=АО²+ВО²=4+9=13 сторона АВ=√13 сторона ВС=2√13 Из прямоугольного ΔАОЕ: АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5 сторона АС=3√5 ответ: √13, 2√13 и 3√5
Так как плоскость АВ₁С₁ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то проводим DC₁||AB₁
Плоскость АВ₁С₁ - это плоскость АВ₁С₁D По теореме Пифагора DC₁²=6²+8²=100 DC₁=10 РК- средняя линия треугольника DCC₁ PK=5
PT|| AD и PT || ВС РТ=4
AD⊥CD ⇒ РТ⊥СD AD⊥DD₁ ⇒ РТ⊥ DD₁
РТ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DD₁C₁C, значит перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, в том числе прямой РК РТ⊥ РК Аналогично, МТ ⊥МК Сечение представляет собой прямоугольник Р(cечения)=Р( прямоугольника ТМКР)=2·(4+5)=18
В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД.
ВС=2ВД=2АВ
По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ
2АВ/ЕС=АВ/АЕ
ЕС=2АЕ
АС=АЕ+ЕС=3АЕ
Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.
ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).
Значит АС=ВМ=3АЕ.
ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:
АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3
ЕО/ВО=1/3
ВО=3ЕО
ВЕ=ВО+ЕО=4ЕО
ЕО=ВЕ/4=4/4=1
ВО=3
Из прямоугольного ΔАОВ:
АВ²=АО²+ВО²=4+9=13
сторона АВ=√13
сторона ВС=2√13
Из прямоугольного ΔАОЕ:
АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5
сторона АС=3√5
ответ: √13, 2√13 и 3√5