Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ОВ⊥АВ. Из ΔАОВ по теореме Пифагора АВ = √(41² - 9²) = √((41 - 9)(41 + 9)) = √(32 · 50) = √1600 = 40 см
2. Проведем радиусы ОВ и ОС в точки касания. Тогда ∠АВО = ∠АСО = 90°, ОВ = ОС как радиусы, ОА - общая гипотенуза для треугольников АВО и АСО, ⇒ ΔАВО = ΔАСО по катету и гипотенузе. Значит, ∠ВАО = ∠САО = 1/2 ∠ВАС = 1/2 · 60° = 30°. В прямоугольном треугольнике АОС ОС - катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен половине гипотенузы: R = OC = 1/2AO = 8 см
3. В прямоугольном треугольнике АОС sin∠САО = OC/OA = 6 / (4√3) = 3√3 / 6 = √3/2 Значит ∠САО = 60°. Так как ∠ВАО = ∠САО (доказано в предыдущей задаче), то ∠ВАС = 120°.
4. АВ⊥ВС как стороны прямоугольника, значит АВ - расстояние от точки А - центра окружности - до прямой ВС. Это расстояние равно радиусу, значит прямая ВС - касательная к окружности.
5. Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда соответствующие дуги окружности равны 2х, 3х и 4х. В сумме они составляют 360°. 2x + 3x + 4x = 360° 9x = 360° x = 40° Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. ∪АВ = 80°, ⇒ ∠С = 40°, ∪ВС = 120°, ⇒ ∠А = 60°, ∪АС = 160°, ⇒ ∠В = 80°.
6. Неточное условие. Должно быть так: Расстояния от точки окружности до концов диаметра равны 9 см и 12 см. Найдите радиус окружности. Вписанный угол АСВ опирается на диаметр, значит он прямой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора АВ = √(АС² + ВС²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см R = 1/2AB = 7,5 см
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301