1. Пусть центр окружности - точка О. Если провести радиус ОС, то ОС⊥А₁В₁, пусть ОС =а.
Тогда АА₁║ОС, как два перпендикуляра к одной прямой А₁В₁, а поскольку АО=ОВ, то по теореме Фалеса А₁С= СВ₁, но тогда в трапеции АВВ₁А₁ ОС - средняя линия, а она, как известно, равна полусумме оснований АА₁ и ВВ₁. Если обозначить ВВ₁=х, то АА₁=3х, тогда средняя линия ОС=(х+3х)/2=
2х.
2. Продолжим АВ до пересечения с А₁В₁ в точке, например, Т. Рассмотрим подобные треугольники ТВВ₁ и ТОС, в них угол Т-общий, углы при вершинах В₁ и С прямые. Составим пропорцию. ТВ/ТО= ВВ₁/ОС,
но т.к. ВВ₁=х, а ОС=2х, то отношение это равно 1/2, т.е. ТО в два раза больше ТВ, В - середина отрезка ТО. Значит, и ТВ равно радиусу 2х.
3. По свойству касательной и секущей ТС²=ТВ*ТА, 2х*3*2х. Т.е ТС²=, 12х²
4. Отношение ТС/ОС рано тангенсу угла ТОС и это отношение равно (Корень из 12х в квадрате)/2х =(2хкорень из 3)/2х= корень из трех. Но это тангенс 60 градусов.
5. Углы ВАС и ВОС опираются на одну и ту же дугу, угол ВАС вписанный в окружность, а угол ВОС -центральный угол, значит, угол ВАС равен половине угла ВОС, угол ТОС=углу ВОС=60градусов. Следовательно, искомый угол ВАС равен половине центрального. т.е. 30 градусов.
ОТвет 30 градусов
Удачи за красивые задачи.)
РЕШЕНИЕ
сделаем построение по условию
AB = BC , так как ABCD -квадрат
Точка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать ,
что сторона ВС состоит из 3-х равных частей.
Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать ,
что сторона АВ состоит из 4-х равных частей.
Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно.
Дополнительное построение :
обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1C
проведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE
по теореме Фалеса :
параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла <EBC
пропорциональные отрезки
на стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части
обозначим для простоты -x.
так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть
представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9
рассмотрим угол <BAM
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова
пропорциональные отрезки на сторонах угла
MK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <-----это сторона АМ треугольника AMD
Дополнительное построение :
проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Р
проведем прямую DN параллельную прямой CE
прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN
CE || DN , EN || CD
NECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельны
следовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4
т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей.
тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12
рассмотрим угол <NPD
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова
пропорциональные отрезки на сторонах угла
ML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <-----это сторона МD треугольника AMD
ОТВЕТ
для стороны АМ отношение 2 : 9
для стороны МD отношение 1 : 6
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними