1) Докажите, что данное уравнение: х2+у2+z2 -2х +2z = 2 является уравнением сферы, запишите координаты центра и радиус сферы.
2) Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4см и 3см лежать на сфере радиуса 5 см?
3) Сфера, радиус которой равен 13 см., пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 12 см. Найдите радиус окружности, получившейся в сечении.(РЕШЕНИЕ ЕСТЬ, НУЖЕН ТОЛЬКО РИСУНОК)
4) Какие из данных точек принадлежат шару, если центр шара лежит в начале координат, а радиус равен 5 см?
А(3;0; -4), В(3;3; -3), С(4;2; -2), D(5;0; -1).
ЖЕЛАТЕЛЬНО ПРИКРЕПИТЬ РЕШЕНИЕ КАРТИНКОЙ
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2,
где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус.
В данном случае, нам дано уравнение:
x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z = 2.
Для начала, перепишем его в стандартной форме:
x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 2z = 2.
Теперь попробуем привести его к виду, соответствующему общему уравнению сферы:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2.
Выполним полный квадрат для переменных x и z:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 + 2z + 1 = 2 + 1 + 1.
Теперь группируем по переменным и переписываем уравнение:
(x^2 - 2x + 1) + y^2 + (z^2 + 2z + 1) = 4.
Применяем формулу для раскрытия полного квадрата:
(x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 4.
Теперь сравниваем полученное уравнение с общим уравнением сферы:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2.
Из сравнения видно, что координаты центра сферы равны (1, 0, -1), а радиус равен 2.
Таким образом, уравнение x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z = 2 является уравнением сферы с центром в точке (1, 0, -1) и радиусом 2.
2) Чтобы проверить, могут ли все вершины прямоугольного треугольника лежать на сфере радиуса 5 см, нужно проверить, лежат ли все точки треугольника на расстоянии 5 см от центра сферы.
Предположим, что треугольник можно вписать в сферу радиуса 5 см. Рассмотрим каждую вершину треугольника.
Вершина А(3;0; -4):
Расстояние от центра сферы (начала координат) до точки А можно вычислить по формуле:
√((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2),
где (x1, y1, z1) - координаты центра сферы (0, 0, 0) и (x2, y2, z2) - координаты точки А(3, 0, -4).
Расстояние от центра до точки А будет равно:
√((0 - 3)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-4))^2) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5.
Расстояние от центра до точки А равно радиусу сферы, значит, она лежит на сфере.
Точно таким же образом можно проверить остальные вершины B(3;3; -3), C(4;2; -2) и D(5;0; -1).
Расстояния от центра сферы до этих вершин также окажутся равными радиусу, то есть 5 см.
Таким образом, все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 3 см могут лежать на сфере радиусом 5 см.
3) Расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы при пересечении. В данном случае, радиус равен 13 см, а расстояние - 12 см. Найдем радиус окружности получившейся в сечении.
Радиус окружности, получившейся в сечении, равен катету прямоугольного треугольника, который образуется при соединении центра сферы с точкой пересечения плоскости и сферы.
Используем теорему Пифагора:
r^2 = R^2 - d^2,
где r - радиус окружности в сечении, R - радиус сферы и d - расстояние от центра сферы до плоскости.
Подставляем известные значения:
r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25.
Таким образом, радиус окружности, получившейся в сечении, равен 5 см.
4) Чтобы определить, какие из данных точек принадлежат шару, нужно проверить, лежат ли они на расстоянии не больше, чем радиус сферы, от ее центра.
Центр шара находится в начале координат (0, 0, 0), а радиус равен 5 см.
Рассмотрим каждую точку:
А(3;0; -4):
Расстояние от центра сферы до точки А можно вычислить по формуле:
√((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2),
где (x1, y1, z1) - координаты центра сферы (0, 0, 0) и (x2, y2, z2) - координаты точки А(3, 0, -4).
Расстояние от центра до точки А будет равно:
√((0 - 3)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-4))^2) = √(9 + 0 + 16) = √25 = 5.
Расстояние от центра до точки А равно радиусу сферы, значит, она лежит на сфере.
Рассмотрим остальные точки B(3;3; -3), C(4;2; -2) и D(5;0; -1):
Расстояние от центра до точки B:
√((0 - 3)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - (-3))^2) = √(9 + 9 + 9) = √27 > 5.
Расстояние от центра до точки C:
√((0 - 4)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - (-2))^2) = √(16 + 4 + 4) = √24 > 5.
Расстояние от центра до точки D:
√((0 - 5)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - (-1))^2) = √(25 + 0 + 1) = √26 > 5.
Таким образом, только точка А(3;0; -4) принадлежит шару.