Question

Три окружности с центрами в точках а в с и радиусами 1 5 9 касаются друг друга внешним образом .Найти радиус окружности ,вписанной в треугольник АВС.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобится понятие описанной и вписанной окружностей треугольника.

Описанная окружность треугольника – это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Радиус этой окружности равен половине длины его диаметра.

Вписанная окружность треугольника – это окружность, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом. Радиус этой окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из сторон треугольника.

Пусть радиусы окружностей A, B и C соответственно равны 1, 5 и 9.

Для начала, найдем стороны треугольника ABC. Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, то радиус большей окружности равен сумме радиусов двух меньших окружностей.

Радиус окружности ABC равен радиусу окружности C (9) + радиусу окружности B (5) = 14.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через радиусы внписанной окружности:

S = p * r,

где S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, деленной на 2:

p = (AB+AC+BC)/2.

Найдем стороны треугольника AB, AC и BC, используя радиусы окружностей:

AB = радиус A + радиус B = 1 + 5 = 6,
AC = радиус A + радиус C = 1 + 9 = 10,
BC = радиус B + радиус C = 5 + 9 = 14.

Теперь найдем полупериметр треугольника:

p = (6+10+14)/2 = 15.

Наконец, найдем радиус вписанной окружности, используя формулу площади треугольника:

S = p * r,
r = S/p.

Подставим известные значения:

r = 15/15 = 1.

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 1.