Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность, точка косания с которой делит большую боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найдите среднюю линию трапеции.

Answer 1

Для начала нам нужно разобраться в определениях и свойствах, связанных с прямоугольной трапецией и окружностью.

Прямоугольная трапеция - это четырехугольник, у которого две параллельные стороны являются основаниями, и все его углы прямые.

Окружность - это множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

Точка касания - это точка, в которой окружность и треугольник соприкасаются.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины параллельных оснований трапеции.

Теперь перейдем к решению задачи.

Дано: Окружность вписана в прямоугольную трапецию. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 2 и 8.

Мы можем обозначить точку касания как А. Обозначим середину большего основания трапеции как B, а середину меньшего основания как C.

Поскольку точка А делит большую боковую сторону на отрезки 2 и 8, то можно сказать, что AB = 2 и BC = 8.

Так как точка касания - это точка касания окружности с треугольником, AB и BC являются радиусами окружности. Обозначим радиус окружности как r.

Так как высота трапеции проходит через центр окружности, то можно заключить, что высота трапеции равна 2r.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины оснований. Разделим среднюю линию на два равных отрезка. Обозначим точку разделения как D.

Точка D является серединой отрезка BC, поэтому BD = CD = BC/2 = 8/2 = 4.

Мы знаем, что AD - это половина высоты трапеции. Значит, AD = 2r/2 = r.

Таким образом, мы видим, что треугольник ABD является прямоугольным треугольником, у которого известны стороны AD и AB.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти значение BD, которое является средней линией трапеции:

BD^2 = AB^2 - AD^2
BD^2 = 2^2 - r^2
BD^2 = 4 - r^2
BD = sqrt(4 - r^2)

Таким образом, средняя линия трапеции равна sqrt(4 - r^2).

Осталось найти значение r. Для этого мы можем использовать свойства окружности.

Радиус окружности r - это половина длины диагонали трапеции.

Так как мы имеем дело с прямоугольной трапецией, диагональ равна sqrt(AB^2 + BC^2).

AB^2 + BC^2 = 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68.

Таким образом, длина диагонали трапеции равна sqrt(68).

Итак, радиус окружности r = (sqrt(68))/2.

Теперь мы можем выразить среднюю линию трапеции через r:

Средняя линия трапеции = sqrt(4 - r^2) = sqrt(4 - (sqrt(68)/2)^2).

Подставим значение r и рассчитаем среднюю линию трапеции:

Средняя линия трапеции = sqrt(4 - (sqrt(68)/2)^2) ≈ 2.507.

Таким образом, средняя линия трапеции составляет примерно 2.507 единицы длины.