Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
2 )Строишь отрезок любой из заданных величин.Затем из концов отрезка строишь окружности , радиусы которых равны двум оставшимся.Точка пересечения этих окружностей будет третей вершиной.Соедини точку с концами отрезка и получишь искомый треугольник.
3) Побудова:
а) будуємо відрізок АВ = 6 см;
б) з обох його кінців А і В як з центрів проводимо кола, радіуси яких дорівнюють АС = 5 см і ВС = 4 см;
в) сполучаємо точки АіВ відрізка АВ з однією із точок С перетину кіл. Трикутника ABC - шуканий.
2) Побудова:
а) будуємо відрізок АВ - 2 см;
б) з обох його кінців А і В як з центрів проводимо кола, радіуси яких дорівнюють АС = ВС = 2 см;
в) сполучаємо точки АіВ відрізка АВ з однією із точок С перетину кіл. Трикутник ABC - шуканий.
а 1 я не знаю(
Объяснение: