Question

ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны С РИСУНКОМ

Answer 1

Для начала проведем рисунок, чтобы было проще визуализировать задачу.

B
|
|
H------E------D
|
|
C
|
|
A

В данном квадрате ABCD имеем:
AB = BC = CD = DA (все стороны квадрата равны);
AE = EC (по свойству диагоналей квадрата);
и AE ⊥ BC (по определению перпендикулярности).

Теперь рассмотрим треугольники AHE и EBC.

Треугольник AHE:
AH ⊥ плоскость квадрата (по условию);
AE ⊥ BC (из ранее указанных свойств).
Таким образом, угол EAH является прямым углом (по определению перпендикулярности).

Треугольник EBC:
AE ⊥ BC (из ранее указанных свойств);
EC = EC (общая сторона квадрата).
Таким образом, треугольник EBC является прямоугольным треугольником (по свойству в теореме о равенстве гипотенуз и катетов SSS).

Из прямоугольности треугольника EBC следует, что угол EBC также является прямым углом.

Таким образом, мы доказали, что углы EAH и EBC являются прямыми углами, что означает, что прямые HE и BD перпендикулярны друг другу.

Мы можем это сказать, потому что:

1. Углы EAH и EBC являются прямыми углами.
2. Квадрат имеет все стороны равными, а его диагонали пересекаются в точке E.
3. AE ⊥ BC и AH ⊥ плоскость квадрата.

Таким образом, прямые HE и BD перпендикулярны друг другу.