ответ: arctg(√2tgα).
Объяснение:"Углом между указанными плоскостями MDC и АВС является угол, стороны которого – лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру".
1) ΔДОС: ОД=ОС по свойству диагоналей квадрата,
ОЕ- медиана по условию ⇒ОЕ- высота и ∠ОЕС=90°.
2) ΔОЕС: ∠ОЕС=90°, пусть ДС=а, тогда ОЕ=ЕС=а/2,
ОС²=(а/2)²+(а/2)²=а²/4 + а²/4= 2а²/4= а²/2;
ОC=а:√2= (а√2) :2.
ОМ:ОС=tgα ⇒ ОМ=ОС*tgα= (а√2) :2 * tgα= (а√2*tgα) :2.
3) ΔОМЕ: ОМ⊥ пл.АВС, ОЕ⊂пл.АВС ⇒ ОМ⊥ОЕ.
tg∠ОЕМ = ОМ:ОЕ = (а√2*tgα):2 :а/2= (а√2*tgα):а= √2tgα;
4) ОЕ⊂пл.АВС, ОЕ⊥ДС, МЕ- наклонная к пл.АВС,
ОЕ- проекция МЕ на пл.АВС ⇒
⇒ по теореме о трёх перпендикулярах МЕ ⊥ ДС.
пл.АВС ∩ пл.ДМС= ДС, МЕ ⊂ пл.ДМС и МЕ⊥ДС,
ОЕ ⊂ пл.АВС и ОЕ⊥пл. АВС ,
значит ∠(МДС;АВС)=∠ОЕМ= arctg(√2tgα).
6.) угол ВАС=40° (они вертикальные), угол АВС = 180-105-40=35°, угол АСВ=105°
ОТВЕТ: ВАС=40°; АВС=35°; АСВ=105°.
10.) угол АВС=180-140=40°, угол ВАС=ВСА потому что ∆ВАС равнобедренный, угол ВАС=ВСА=(180-40):2=70°
ОТВЕТ: АВС=40°; ВАС=70°, ВСА= 70°
12.) ∆АВД и ∆ВДС — равнобедренные (потому что у них есть по две одинаковые стороны), у ∆АВД угол ВАД = АВД = 30° угол АДВ =180-30-30=120°; у ∆ВСД угол ВДС = 180- АДВ = 180-120= 60° угол ДВС=ВСД =(180-60):2= 60°
ОТВЕТ: ВАД=30°; АВС=60+30=90°; ВСА=60°