* Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС? б) Найдите длину медианы PD. РЕШИТЕ С ОБОСНОВАНИЯМИ И БЕЗ КОРНЕЙ
а) Чтобы найти, между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС, нужно найти длину отрезка ВС и округлить полученное значение до целого числа.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
В треугольнике BCD у нас заданы два угла: ∠DBC = 90° и ∠BDC = 60°. Мы также знаем, что BD = 4 см.
Сначала найдем длину отрезка CD с использованием теоремы косинусов.
Таким образом, мы получили два значения для BC: (1 + √65) / 2 и (1 - √65) / 2.
Округлим эти значения до целых чисел:
x₁ ≈ 6 и x₂ ≈ -5.
Значит, отрезок BC находится между -5 и 6.
Значение -5 отбрасываем, так как длина отрезка не может быть отрицательной.
Таким образом, длина отрезка ВС заключена между 0 и 6.
б) Чтобы найти длину медианы PD, мы можем использовать свойство медианы в треугольнике. Медиана делит сторону пополам и пересекается с ее серединой. Поэтому PD будет равной половине CD.
Мы уже нашли, что длина CD² = x² - 8x + 16. Используя одно из полученных значений для BC, найдем длину отрезка CD.
а) Чтобы найти, между какими целыми числами заключена длина отрезка ВС, нужно найти длину отрезка ВС и округлить полученное значение до целого числа.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов.
В треугольнике BCD у нас заданы два угла: ∠DBC = 90° и ∠BDC = 60°. Мы также знаем, что BD = 4 см.
Сначала найдем длину отрезка CD с использованием теоремы косинусов.
Вспомним формулу теоремы косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(C),
где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины других двух сторон, а C - угол против стороны с длиной c.
Применим эту формулу к треугольнику BCD. Пусть BC = x.
Тогда применяем теорему косинусов:
CD² = BD² + BC² - 2 * BD * BC * cos(∠BDC).
CD² = 4² + x² - 2 * 4 * x * cos(60°).
CD² = 16 + x² - 8x.
CD² = x² - 8x + 16.
Для того чтобы найти длину отрезка CD, нужно вычислить значение корня из уравнения CD² = x² - 8x + 16.
Перейдем к решению квадратного уравнения.
CD² - x² + 8x - 16 = 0.
Коэффициенты при квадрате переменной, её одногрупповом по знаку слагаемом и свободном члене равны: 1, -1, 8, -16.
D = (-1)² - 4 * 1 * (-16) = 1 + 64 = 65.
Так как D> 0, то уравнение имеет два вещественных корня.
Используя формулу корней квадратного уравнения x = (-b ± √D) / (2 * a), найдем значения корней.
x₁ = (-(-1) + √65) / (2 * 1) = (1 + √65) / 2.
x₂ = (-(-1) - √65) / (2 * 1) = (1 - √65) / 2.
Таким образом, мы получили два значения для BC: (1 + √65) / 2 и (1 - √65) / 2.
Округлим эти значения до целых чисел:
x₁ ≈ 6 и x₂ ≈ -5.
Значит, отрезок BC находится между -5 и 6.
Значение -5 отбрасываем, так как длина отрезка не может быть отрицательной.
Таким образом, длина отрезка ВС заключена между 0 и 6.
б) Чтобы найти длину медианы PD, мы можем использовать свойство медианы в треугольнике. Медиана делит сторону пополам и пересекается с ее серединой. Поэтому PD будет равной половине CD.
Мы уже нашли, что длина CD² = x² - 8x + 16. Используя одно из полученных значений для BC, найдем длину отрезка CD.
Если BC = (1 + √65) / 2:
CD = 0,5 * √(x² - 8x + 16) = 0,5 * √((1 + √65) / 2)² - 8 * (1 + √65) / 2 + 16)
= 0,5 * √((1 + √65)² - 16 - 8 * √65 + 16)
= 0,5 * √(1 + 2 * √65 + 65 - 16 - 8 * √65 + 16)
= 0,5 * √(66 + 2 * √65 - 16 - 8 * √65)
= 0,5 * √(50 - 6 * √65).
Если BC = (1 - √65) / 2:
CD = 0,5 * √(x² - 8x + 16) = 0,5 * √((1 - √65) / 2)² - 8 * (1 - √65) / 2 + 16)
= 0,5 * √((1 - √65)² - 16 - 8 * √65 + 16)
= 0,5 * √(1 - 2 * √65 + 65 - 16 - 8 * √65 + 16)
= 0,5 * √(66 - 2 * √65 - 16 - 8 * √65)
= 0,5 * √(50 - 10 * √65).
Таким образом, длина медианы PD равна одной из следующих величин:
0,5 * √(50 - 6 * √65) или 0,5 * √(50 - 10 * √65).
Это и есть ответ на задачу.